En mathématiques les polynômes de Fibonacci, nommés ainsi en l'honneur du mathématicien italien Leonardo Fibonacci, sont une suite de polynômes généralisant les nombres de Fibonacci, définis d'une manière telle que soit égal au n-ième terme de la suite de Fibonacci. Les polynômes de Lucas généralisent de même les nombres de Lucas.
Définition Les polynômes de Fibonacci sont définis par une relation de récurrence linéaire. :
Le polynôme est de degré n-1.
Les premiers polynômes de Fibonacci sont :
. Les polynômes de Lucas sont définis par la même récurrence, mais avec des valeurs initiales différentes : ; est un polynôme de degré n. Les premiers polynômes de Lucas sont :
. Les nombres de Fibonacci sont alors calculés en évaluant la valeur du polynôme Fn lorsque x = 1 ; les nombres de Pell sont déterminés en évaluant Fn lorsque x = 2. Enfin, les nombres de Lucas sont obtenus en évaluant Ln en 1.
Ces suites de polynômes sont des suites de Lucas associées : on a
Séries génératrices La série génératrice pour les polynômes de Fibonacci est . :
De même, la série génératrice des polynômes de Lucas est :
Relations remarquables
En tant que cas particuliers de suites de Lucas, ces polynômes vérifient de nombreuses identités.
Ils peuvent être définis pour des indices négatifs par.
On a également :
Des expressions analogues à la formule de Binet existent :
où
sont les solutions (en t) de
Les puissances de x s'expriment comme combinaison des polynômes de Fibonacci par Carnegie Mellon Informatics and Mathematics Competition (CMIMC) 2016, exercice 10 (à partir de la page 5).
Par exemple,
.
Racines et factorisation des polynômes de Fibonacci Posant , on vérifie qu'avec les notations précédentes, , , et donc que , qui ne s'annule que pour ainsi les racines de sont les imaginaires purs .. On en déduit la factorisation des : et , puis, prenant , une expression trigonométrique des nombres de Fibonacci. : ; des formules analogues peuvent être obtenues pour les polynômes de Lucas.
Interprétation combinatoire
Si F(n,k) est le coefficient de xk dans Fn(x), c'est-à-dire que
alors F(n,k) est le nombre de façons dont on peut paver une bande de n−1 carrés avec des dominos (des rectangles ) et exactement k carrés unité. De façon équivalente, F(n,k) est le nombre de façons d'écrire n−1 comme une somme ordonnée de 1 et de 2, avec exactement k apparitions de 1. Par exemple, F(6,3)=4 et 5 peut s'écrire de 4 façons, 1+1+1+2, 1+1+2+1, 1+2+1+1, 2+1+1+1, comme somme de 1 et de 2 avec exactement trois 1. Déterminant la position des 1 dans une telle somme, il devient alors évident que F(n,k) est égal au coefficient binomial
où n et k sont de parité opposée, ce qui permet de lire ces coefficients dans le triangle de Pascal, comme montré ci-dessus.
Références
Voir aussi Bibliographie
Liens externes
Fibonacci Catégorie:Suite de Fibonacci