En géométrie, le cercle de Spieker désigne le cercle inscrit dans le triangle médian d'un triangle donné. Il porte le nom du mathématicien allemand du Theodor Spieker.
Le centre de ce cercle est appelé centre de Spieker, ou point de Spieker du triangle. Il est répertorié X(10) dans l'encyclopédie des centres du triangle et a pour coordonnées barycentriques .
Construction Le triangle médian étant l'image du triangle d'origine par l'homothétie de centre le centre de gravité et de rapport , le cercle de Spieker et son centre sont images par cette homothétie du cercle inscrit et de son centre , d'où : . Le rayon du cercle de Spieker vaut donc la moitié du rayon du cercle inscrit dans le triangle d'origine.
Propriétés Le point de Spieker est le centre de gravité de la ligne polygonale homogène formée par les trois côtés (contrairement au centre de gravité du triangle qui est l'isobarycentre des sommets et aussi le centre de masse de la plaque triangulaire).
Le centre de Spieker est aussi le point de concours des trois droites du triangle qui séparent le périmètre en deux parties égales et passent par le milieu d'un des côtés.
Le cercle de Spieker est également lié au point de Nagel du triangle : c'est le cercle inscrit du triangle constitué par les trois points milieux entre le point de Nagel et les sommets du triangle.
Les quatre points sont alignés sur la droite de Nagel du triangle, et vérifient :
Références
Dover reprint, 1960.
Voir aussi
Articles connexes
Bissection du triangle Droite centrale # Droite de Nagel
Liens externes
Spieker Conic and generalization of Nagel line at Dynamic Geometry Sketches Generalizes Spieker circle and associated Nagel line.
Spieker Catégorie:Cercle associé à un triangle