En mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, le cap-produit est une opération binaire qui permet d'assembler des chaînes et des cochaînes. Elle a été introduite par Eduard Čech en 1936 et indépendamment par Hassler Whitney en 1938.

Définition Soit X un espace topologique et A un anneau. Le cap-produit est une application bilinéaire définie sur les chaines et les cochaines singulières

en posant

avec et et où est la restriction de l'application simpliciale à la face engendrée par les vecteurs .

Propriétés On a la formule .

Elle implique que le cap-produit d'un cycle avec un cocycle est un cycle ; le cap-produit d'un cycle et d'un cobord est un bord ; et le cap-produit d'un bord et d'un cocycle est un bord.

Ceci permet de définir un cap-produit en homologie et cohomologie :

Le cap-produit et le cup-produit sont reliés par la relationoù

Dualité de Poincaré

Référence

Catégorie:Algèbre homologique