Le théorème d'Atkinson.. est un résultat d'analyse fonctionnelle qui caractérise les opérateurs de Fredholm. Énoncé Pour tout opérateur borné T sur un espace de Banach E, les propriétés suivantes sont équivalentes : T est un opérateur de Fredholm ; il existe un opérateur borné S sur E tel que – ST et – TS soient de rang fini ; il existe un opérateur borné S sur E tel que – ST et – TS soient compacts ; la classe de T dans l'algèbre de Calkin B(E)/K(E) est inversible. Démonstration Clairement, 2. implique 3., qui équivaut à 4.
1 ⇒ 2 : supposons que T est de Fredholm, c'est-à-dire que la codimension de son image et la dimension de son noyau sont finies. Ils admettent alors des supplémentaires topologiques : kerT⊕V = E = imT⊕W. De V dans imT, la restriction de T est une bijection continue, dont la bijection réciproque S est continue (d'après le théorème de l'application ouverte). Soit où 0 désigne l'application nulle de W dans kerT. Alors, im( – TS) = W et im( – ST) = kerT sont de dimension finie.
3 ⇒ 1 : supposons que – TS et – ST sont compacts. Alors (cf. « Alternative de Fredholm ») kerST est de dimension finie et imTS est de codimension finie. A fortiori, kerT (inclus dans kerST) est de dimension finie et imT (contenant imTS) est de codimension finie.
Notes et références
Atkinson Catégorie:Théorie des opérateurs