400px|Exemple d'ovale complet et ses trois foyers
En géométrie plane, un(e)Descartes et Barbin utilisent le féminin. ovale de Descartes est l'ensemble des points M vérifiant une équation de la forme , où a, b et c sont trois réels non nuls et F, F deux points donnés appelés foyers.
Pour chaque ovale non dégénéré, de foyers F et F, il existe un troisième foyer F et de nouveaux paramètres qui font de la courbe un ovale de foyers F, F. C'est la raison pour laquelle on parle des trois foyers d'un ovale.
L'ensemble des points M tels que est appelé ovale complet et regroupe deux courbes du type précédent. Un ovale complet est un cas particulier de courbe quartique.
Le nom « ovale de Descartes » fait référence au mathématicien René Descartes qui fut le premier à les étudier dans des problèmes de réfraction.
Origine René Descartes fait allusion à ces courbes dans sa Dioptrique mais les étudie plus profondément dans sa Géométrie. Il ne les présente pas directement par leur équation bifocale mais à l'aide d'une construction. Sa motivation est d'ordre pratique : il s'agit de rechercher des courbes de stigmatisme parfait. C'est-à-dire des courbes séparant deux milieux d'indices différents telles que tous les rayons issus d'un point particulier du premier milieu, convergent par réfraction sur un point particulier du second milieu.
Les ovales intérieurs ont cette particularité: si l'ovale d'équation où sépare un milieu intérieur d'indice b d'un milieu extérieur d'indice a alors les rayons issus de F et rencontrant l'ovale vont se réfracter en F.
Descartes mobilise, dans cette étude, sa nouvelle connaissance de la loi de réfraction ainsi que ses techniques de tracé de tangentes à des courbes.. Il conclut par la présentation de lunettes permettant à l'aide de la combinaison de deux ovales d'assurer un stigmatisme absolu..
Il propose également un moyen mécanique de construction de telles ovales pour des coefficients b et a entiers naturels lorsque , avec une méthode s'apparentant à la méthode du jardinierPour la construction de l'ovale voir , pour une analyse voir ..
La courbe est également étudiée par Isaac Newton, Adolphe Quételet qui étudie les deux branches de la courbe et en donne l'équation polaireAdolphe Quetelet, Démonstration et développement des principes fondamentaux de la théorie des caustiques secondaires. Nouveaux mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles (1829), lire en ligne, par Michel Chasles. Arthur Cayley, Hieronymus Georg Zeuthen et HammondJ. Hammond, On the Mechanical Description of the Cartesian, American Journal of Mathematics, 1878 en développent des méthodes mécaniques de construction, p.558..
Cas particuliers On considère la courbe d'équation bipolaire . On peut, sans perte de généralité, supposer . Si , la courbe est vide..
Lorsque , l'ensemble des points M est une ellipse, le troisième foyer est envoyé à l'infini. On considère en général qu'il s'agit d'un ovale dégénéré.
Lorsque , l'ensemble des points M est une demi-hyperbole. Le troisième foyer est envoyé à l'infini. Il s'agit aussi d'un cas dégénéré.
Lorsque , le troisième foyer est confondu avec F et l'ovale complet est un limaçon de Pascal.
Équations de l'ovale complet L'équation peut encore s'écrire sous la forme quartique suivante :
Équations cartésiennes Dans le cas d'un ovale non dégénéré, en prenant pour origine O le barycentre de F et F affectés des coefficient b et –a et pour le vecteur tel que F a pour abscisse . Alors F a pour abscisse . En posant , l'équation de l'ovale devient , avec des notations différentes. :
où σ, σ et σ sont les fonctions symétriques des réels α, β et γ :
Le caractère symétrique des rôles joués par les réels α, β et γ permet de dire que la même équation cartésienne sera obtenue pour l'ovale de foyers F et F(γ, 0) et d'équation ainsi que pour l'ovale de foyers F et F et d'équation .
On peut aussi décider de prendre pour origine, le milieu du segment [FF] ou un des foyers, équation de l'ovale dans le repère de centre F dans lequel F a pour abscisse c pour obtenir des équations alternatives.
Équation polaire Dans le repère de centre F et dont l'axe principal est orienté vers F, si l'on note , l'ovale complet d'équation a pour équation polaire ou , avec d'autres notations. :
Puisque le produit des deux racines de cette équation est indépendant de θ, l'ovale complet est invariant par inversion. de centre F et de rapport .
Propriétés géométriques On considère l'ovale d'équation . Troisième foyer Si l'ovale n'est pas dégénéré, le troisième foyer F est le barycentre des points F et F affectés des coefficient et , et les deux autres équations de l'ovale sont et , voir à théorème de Stewart.
Sommets Les 4 sommets de l'ovale complet sont les barycentres des points F et F affectés des coefficients , , , . Tangente et normale thumb|Propriété de réfraction de l'ovale intérieur : le rayon issu de F se réfracte pour passer par F. La normale à l'ovale d'équation au point M a pour vecteur directeur :
Ainsi, si on appelle θ l'angle que fait FM avec la normale et θ l'angle que fait FM avec la normale, on a l'égalité : .
Pour 0< b < a, on retrouve là, la loi de Snell-Descartes. Si l'ovale sépare deux milieux, l'un d'indice b contenant F et l'autre d'indice a contenant F et si M est le premier point de rencontre de la demi-droite [FM) avec l'ovale, alors le rayon FM) se réfracte en MF
Construction à l'aide de deux cercles left|thumb|upright=1.5|Ovale d'équation 4FM ± 3FM = ± 2FF construit grâce au point C, barycentre des points F et F affectés des coefficients -3 et 4, et aux cercles de centre F et F et de rayons respectifs FF et FF.
Michel Chasles. propose une construction d'ovale complet à l'aide de deux cercles de centres F et F et d'un point C situé sur la droite (FF). On fait pivoter une droite autour de C de telle sorte qu'elle rencontre le premier cercle en deux points M et N et le second cercle en M et N. Les points de rencontre des droites (FM) et (FN) avec les droites (FM) et (FN) dessinent alors un ovale complet quand la droite pivote autour de C.
Projection d'une courbe gauche thumb|Projection orthogonale de l'intersection du cône de sommet S avec le cône de sommet S sur un plan perpendiculaire aux axes des cônes est un ovale de foyers S et S.
Un ovale de Descartes est le projeté vertical dans un plan horizontal de l'intersection de deux cônes de révolution d'axes verticaux différents. Les foyers sont alors les projetés des sommets des deux cônes. Cette interprétation permet de retrouver de façon relativement simple certaines propriétés géométriques des ovales
Caustique secondaire par réfraction left|thumb|Ovale de Descartes construit comme caustique secondaire du cercle de centre O et passant par P. Si l'ovale complet a pour équation |bMF ± aMF| = |cFF| et si les point O et P sont définis comme les barycentres de F et F affectés des coefficient b² et –a² pour O, et a et b pour P, l'ovale est alors la caustique secondaire par réfractionRobert Ferréol, Jacques Mandonnet, Anticaustique, Encyclopédie des formes mathématiques remarquables, 2000 de rapport n = |a/c| du cercle (Γ) de centre O, passant par P, par rapport au foyer F. C'est donc l'enveloppe des cercles (Γ) de centres M situés sur (Γ) et de rayons FM/n.
Chaque cercle (Γ) est tangent à l'ovale en deux points T et T' toujours alignés avec le troisième foyer de l'ovale.
Références
Bibliographie et sources
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