En informatique, le théorème d'Akra-Bazzi, appelé aussi la méthode d'Akra-Bazzi, sert à déterminer le comportement asymptotique des solutions de suites définies par récurrence qui apparaissent dans l'analyse asymptotique des coûts d'algorithme, notamment de la classe des algorithmes diviser pour régner. Le théorème est publié en 1998 et constitue une généralisation du Master theorem, puisque ce dernier ne s'applique qu'aux algorithmes du type « diviser pour régner » dont les sous-problèmes sont essentiellement de même taille.

Formulation mathématique On considère l'équation de récurrenceLa formulation de est moins générale que celle de donnée ici. :

pour

où est une fonction qui satisfait les conditions suivantes :

La fonction est définie pour un nombre suffisant de valeurs initiales pour admettre une solution unique ; Les nombres et sont des constantes pour tous les indices , et et ; Pour la dérivée de , on a , pour une constante ( est le symbole de la notation de Landau) ; pour tout i ; est une constante.

Alors admet l'estimation suivante de son comportement asymptotique ( le symbole de la notation de Landau) :

où est tel que .

Les fonctions représentent une petite perturbation de l’argument de T. Comme et comme est toujours compris entre 0 et 1, on peut utiliser pour ignorer les différences avec les parties fractionnaires de l’argument. Par exemple, les fonctions et ont, d'après le théorème d'Akra-Bazzi, le même comportement asymptotiqueLes formulations de et de sont légèrement différentes, en ne s'embarrassant pas des parties entières..

Une variante de la condition sur la dérivée de est la condition de croissance polynomiale de qui s'énonce comme suit : il existe des constantes positives et telles que pour on ait

pour tout réel dans la réunion des intervalles , pour .

Exemples Tri fusion Pour le tri fusion le nombre T(n) de comparaisons qui est une bonne mesure de sa complexité en temps est donné par l'équation récursive :

,

avec comme cas initial . On peut appliquer le théorème d'Akra-Bazzi avec , , , , et , et on obtient le comportement asymptotique

.

Diviser pour régner avec des sous-problèmes inégaux On considère définie par pour et pour . On prend de sorte que

. La formule s'évalue alors comme suit :

Importance et autres exemples Le théorème d'Akra-Bazzi couvre une très vaste classe d'équations récursives et généralise de manière substantielle les résultats connus précédemment pour déterminer le comportement asymptotique. Il est utilisé en informatique pour déterminer la complexité en temps d'algorithmes récursifs du type diviser pour régner. Les exemples suivants sont donnés dans les notes de Leighton. et repris dans un cours de Chowdhury.

Exemple 1

On a et

Exemple 2

On a et

Exemple 3

On a et

Exemple 4

On a et

Notes et références

Bibliographie Article original . Exposés pédagogiques . . .

Catégorie:Algorithmique Akra