En mathématiques, le lemme du tube est le résultat de topologie générale suivant., Lemma 8.9’. :
Il permet par exemple de démontrer simplement que tout produit fini de compacts est compact, sans recourir au théorème de Tychonov.
Remarques Le lemme du tube équivaut à :
L'hypothèse que Y est quasi-compact est indispensable : par exemple. dans le plan euclidien ℝ × ℝ, l'ouvert {(x, y) ; |x| < 1/(y + 1)} contient {0} × ℝ mais ne contient aucun ouvert élémentaire intermédiaire. Plus généralement, pour tout espace Y non quasi-compact, il existe un espace X pour lequel la projection X × Y → X n'est pas fermée, donc dans lequel un certain point x ne vérifie pas le lemme du tube.
Application aux produits finis de compacts Le lemme du tube permet de montrer que le produit de deux espaces quasi-compacts est quasi-compactVoir l'exercice corrigé sur Wikiversité (lien ci-contre).. Par récurrence, tout produit fini d'espaces quasi-compacts est donc quasi-compact, si bien que tout produit fini d'espaces compacts (c'est-à-dire quasi-compacts et séparés) est compact.
Ce cas particulier du théorème de Tychonov est ainsi bien plus élémentaire que le cas d'un produit infini..
Généralisation La preuve de la généralisation suivanteSouvent proposée à titre d'exercice, comme dans . est à peine plus compliquée que la preuve directe du lemme du tube.
Elle permet de montrer que dans un espace séparé, deux parties compactes disjointes sont toujours incluses dans deux ouverts disjoints.
Notes et références
Tube Tube