En analyse fonctionnelle et en analyse convexe, leOn utilise le masculin pour polaire parce que l'on fait référence à un ensemble. Pour la définition de la (droite) polaire, voir « Pôle et polaire ». polaire d'une partie d'un espace localement convexe est un convexe fermé de son dual topologique, contenant l'origine et ayant une « relation de dualité » avec . Bien qu'il soit usuellement défini dans le cadre bien plus général de deux espaces en dualité ; ; ., nous nous limiterons dans cet article au cas d'un espace euclidien, qui s'identifie à son dual.
Énonçons quelques propriétés de cette relation de dualité, de manière à donner une idée de sa nature : le polaire du polaire, appelé le bipolaire, d'un convexe fermé contenant l'origine est égal à ; le polaire d'un polyèdre convexe contenant l'origine est un autre polyèdre convexe contenant l'origine et les sommets (resp. les faces) du premier sont en bijection avec les faces (resp. les sommets) du second ; le polaire de la boule unité fermée de la norme ℓ de ℝ est la boule unité fermée de la norme ℓ, avec 1/p + 1/q = 1.
En géométrie, lorsque est un polyèdre convexe contenant l'origine, on appelle parfois le dual de , mais en analyse convexe cette appellation entre en conflit avec celle du cône dual , dont la signification est tout autre (sauf si est un cône, auquel cas ).
Définitions Le polaire Dans ce contexte, pour éviter l'éventuelle confusion entre polaire (cercle en exposant) et intérieur (cercle suscrit), l'intérieur d'une partie est noté . d'une partie d'un espace euclidien est défini parC'est la définition donnée par et par . Dans le cadre plus général de deux espaces en dualité, ≤ 1 est remplacé par ≥ –1 dans , tandis que utilisait une définition de Bourbaki antérieure et différente, qui dans notre cas euclidien s'écrit : notent eux aussi cet ensemble (), et notent () l'ensemble que nous notons . Avec leurs notations, on a donc .
où désigne le produit scalaire de .
Exemples Le polaire d'un cône est égal à son cône dual négatif ; en particulier, . Les boules unité fermées des normes ℓ et ℓ, avec 1/p + 1/q = 1, sont polaires l'une de l'autre ; en particulier (cas p = q = 2), la boule unité fermée de est son propre polaire. Dans le plan euclidien, le polaire de la bande est la demi-droite .
Le bipolaire d'une partie de est le polaire de son polaire. On le note
Propriétés On désigne ci-dessous l'enveloppe convexe de par et son enveloppe convexe fermée par .
Propriétés du polaire On peut voir comme une intersection de demi-espaces fermés de , contenant l'origine :
Ceci conduit à la première propriété ci-dessous.
On peut aussi écrire comme suit :
où désigne la conjuguée de la fonction indicatrice de l'ensemble .
Propriétés du bipolaire Soit une partie d'un espace euclidien. Alors, .
Par conséquent, si, et seulement si, est un convexe fermé contenant l'origine.
Bornitude Il n'y a pas d'équivalence entre la bornitude de et celle de . Par exemple, si , qui est borné dans , , n'est pas borné. En réalité, comme le montre le résultat suivant, la bornitude de est équivalente au fait que contient une petite boule centrée en zéro.
La réciproque de la dernière implication n'est pas nécessairement vérifiée si n'est pas convexe. Par exemple, si , est borné, alors que ne contient pas de boule.
Exemple
En effet, puisque a même polaire que , on peut toujours se ramener au cas où ce polyèdre est convexe et contient .
Puisque est alors un polyèdre convexe, son indicatrice est une fonction convexe polyédrique, donc la fonction conjuguée également, si bien que est polyédrique, comme ensemble de sous-niveau de .
Plus explicitement : (polyèdre convexe contenant ) peut s'écrire sous la forme
où et sont des ensembles d'indices disjoints et finis, les points pour , les directions pour , et désigne l'enveloppe conique (convexe pointée). Le polaire de est le polyèdre convexe
Annexes
Notes
Article connexe
Bibliographie
Catégorie:Analyse convexe