En analyse convexe, une fonction convexe polyédrique est une application, définie sur un espace vectoriel réel de dimension finie et à valeurs dans la droite réelle achevée , dont l'épigraphe est un polyèdre convexe.
Propriétés Soit une fonction convexe polyédrique. est une fonction convexe et fermée. En effet, son épigraphe est un convexe fermé de , comme intersection d'une famille (finie et non vide) de demi-espaces fermés. Pour tout , l'ensemble de sous-niveau de est un polyèdre convexe. En effet, cet ensemble, égal par définition à , est le projeté sur du polyèdre convexe .
Dans la suite, on supposera de plus que est propre, c'est-à-dire qu'elle n'est pas identiquement égale à () et qu'elle ne prend pas la valeur ( ne contient pas de droite verticale).
La première équivalence ci-dessous est reprise de , la seconde de .
Dans la première équivalence, aucune des deux implications n'a lieu si est seulement supposée convexe, fermée et propre : l'implication « » n'a pas lieu, par exemple, pour la fonction , puisque , mais ; l'implication « » n'a pas lieu, par exemple, pour la fonction , puisque est dans l'intérieur relatif de quel que soit le minimiseur , mais le minimiseur n'est pas dans l'intérieur relatif de .
Dans la seconde équivalence, l'implication « » ne requiert pas la polyédricité de la fonction.
Annexes
Articles connexes Minimum saillant Poursuite de base Recouvrement par jauge
Bibliographie , Rapport INRIA
Catégorie:Analyse convexe Convexe polyedrique