En géométrie, un pentagone régulier convexe (ou plus simplement pentagone régulier, voire pentagone) est un pentagone convexe dont les cinq côtés ont la même longueur et dont les cinq angles internes ont la même mesure. Il est constructible à la règle et au compas.
Généralités
Propriétés Le pentagone régulier convexe est un polygone régulier, c'est-à-dire équilatéral et équiangle. Par conséquent : il est isogonal, isotoxal et autodual ; il est bicentrique, c'est-à-dire à la fois inscriptible : ses sommets sont cocycliques et circonscriptible : il possède un cercle inscrit, c'est-à-dire qu'il existe un cercle tangent à chacun de ses côtés ; les cercles inscrit et circonscrit ont même centre.
vignette|Pentagone (bleu) et pentagramme (noir) réguliers. Il est convexe, ce qui le distingue du seul autre pentagone régulier, le pentagramme, qui est étoilé. On peut dessiner un pentagramme régulier en reliant les sommets d'un pentagone régulier par ses diagonales. Les côtés du pentagramme sont parallèles aux côtés du pentagone (utiliser des triangles isocèles et des angles alternes-internes de la figure).
Mesures Angles Ils sont indépendants de la taille du pentagone. Angle au centre = angle externe : 360/5 = 72° Angle interne : 180×(5-2)/5 = 540/5 = 108°, car : Somme des angles internes de tout pentagone simple : 180×(5-2) = 540°
Dimensions en fonction du côté La construction du pentagone régulier à la règle et au compas fait apparaître le nombre d'or représenté par la suite par la lettre grecque φ ("phi")
Quelques caractéristiques du pentagone régulier convexe de côté : Périmètre :
Aire :
( étant la fonction cotangente) Apothème = rayon du cercle inscrit :
Rayon du cercle circonscrit :
Diagonale (voir à théorème de Ptolémée):
Hauteur :
Distance entre un côté et la diagonale parallèle à ce côté :
Distance entre une diagonale et le sommet le plus proche extérieur à la diagonale :
Dimensions en fonction du rayon du cercle circonscrit Côté :
Diagonale :
Hauteur :
Distance entre un côté et la diagonale parallèle à ce côté :
Distance entre une diagonale et le sommet le plus proche extérieur à la diagonale:
Aire:
Usages Pavages
Il n'est pas possible de paver le plan euclidien par des pentagones réguliers convexes : la mesure de son angle interne, 108°, n'est pas un diviseur de 360°, la mesure d'un tour complet, ce qui empêche le pentagone de servir de tuile dans un pavage régulier. Il n'est pas possible non plus de paver le plan avec des combinaisons de pentagones et d'autres polygones réguliers et d'obtenir un pavage archimédien, uniforme ou semi-régulier.
En géométrie hyperbolique, il est possible de paver le plan uniformément par des pentagones réguliers, en faisant se rencontrer au moins 4 pentagones autour de chaque sommet.
Polyèdres Parmi les polyèdres comportant des pentagones réguliers convexes, et de façon non exhaustive : Le dodécaèdre régulier, dont les faces sont 12 pentagones réguliers convexes ; il s'agit d'un solide de Platon. Le grand dodécaèdre, constitué de 12 faces pentagonales, avec cinq pentagones se rencontrant à chaque sommet, se coupant les uns les autres en créant un trajet pentagrammique ; il s'agit d'un solide de Kepler-Poinsot. Parmi les solides d'Archimède : l'icosidodécaèdre, l'icosaèdre tronqué, le petit rhombicosidodécaèdre et le dodécaèdre adouci ; ces polyèdres combinent des faces pentagonales avec d'autres polygones réguliers. Le prisme et l'antiprisme pentagonaux
Unicode
+ Caractères Unicode hexagonaux Code Caractère Nom Bloc U+2B1F ⬟ Pentagone noir Symboles et flèches divers U+2B20 ⬠ Pentagone blanc Symboles et flèches divers U+2B53 ⭓ Pentagone noir pointant vers la droite Symboles et flèches divers U+2B54 ⭔ Pentagone blanc pointant vers la droite Symboles et flèches divers U+2BC2 ⯂ Pentagone noir culbuté Symboles et flèches divers
Référence .
Voir aussi
Catégorie:Polygone