En analyse complexe, le résidu est un nombre complexe qui décrit le comportement de l'intégrale curviligne d'une fonction holomorphe aux alentours d'une singularité. Les résidus se calculent assez facilement et, une fois connus, permettent de calculer des intégrales curvilignes plus compliquées grâce au théorème des résidus.
Le terme résidu vient de Cauchy dans ses Exercices de mathématiques publié en 1826.
Définition et propriétés Soit un ouvert de , un ensemble dans de points isolés et une fonction holomorphe. Pour chaque point , il existe un voisinage de noté relativement compact dans , tel que est holomorphe. La fonction possède dans ce cas un développement de Laurent sur : .
On définit alors le résidu de en par :
Le résidu d'une fonction holomorphe en un point singulier (pôle ou point singulier essentiel) est donc , c'est-à-dire le coefficient de dans le développement de Laurent de la fonction au voisinage de .
Le résidu est -linéaire, c’est-à-dire que pour on a : .
Méthodes de calcul
On calcule les résidus traditionnellement de deux manières : soit à partir du développement de Laurent au voisinage de ; soit en utilisant la formule générale suivante, si possède en un pôle d'ordre :
Pour deux fonctions et à valeurs dans , on a également les relations suivantes :
Si a en un pôle d'ordre 1 : ; Si a en un pôle d'ordre 1 et si est holomorphe en : ; Si a en un zéro d'ordre 1 : ; Si a en un zéro d'ordre 1 et si est holomorphe en : ; Si a en un zéro d'ordre : ; Si a en un zéro d'ordre et si est holomorphe en : .
Exemples quand est holomorphe en . Soit . a en 0 un pôle d'ordre 1, et . au voisinage de 0. Le résidu vaut donc 1. , comme on le voit immédiatement avec la linéarité et la règle de dérivation logarithmique, puisque a en 1 un zéro d'ordre 1. La fonction gamma a en pour tout un pôle d'ordre 1, et le résidu vaut .
Théorème des résidus
Soit une fonction holomorphe sur , un ouvert étoilé ou plus généralement simplement connexe, sauf peut-être présentant des singularités isolées aux points de l'ensemble . Alors si est un lacet tracé dans et ne rencontrant pas , on a :
où est l'indice du chemin au point .
Voir aussi Théorème des résidus Méthodes de calcul d'intégrales de contour Théorème de Mittag-Leffler
Références Claude Wagschal, Fonctions holomorphes. Équations différentielles, Hermann, coll. « Méthodes », 2003, p. 119-120. Augustin Louis Cauchy, Exercices de mathématiques, 1826, p. 11 Voir en ligne
Liens externes
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