En mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, un diagramme est une collection d'objets et de flèches d'une catégorie donnée, par exemple:
Un tel diagramme est commutatif lorsque, pour tous les chemins, les compositions des flèches de deux chemins donnés sont égales. Le diagramme précédent est donc commutatif lorsque .
En pratique, on se sert souvent des diagrammes comme de symboles abréviateurs, qui évitent de nommer tous les objets et les flèches que l'on veut considérer; on dit souvent "considérons le diagramme ci-dessus" au lieu de dire par exemple dans la catégorie des ensembles: "considérons quatre ensembles et une application de dans ..."
Définition
Formellement, un diagramme de forme est un foncteur covariant dans une catégorie est un foncteur . La catégorie est parfois appelée la catégorie d'indexation ou le schéma du diagramme .
Bien que les termes « diagramme » et « foncteur » désignent le même objet mathématique, de même que les termes « schéma » et « catégorie », ils permettent un changement de perspective : le schéma est le plus souvent une catégorie finie ou petite, dont la forme est transposée dans via le diagramme .
Exemples
Lorsque est une catégorie discrète, un diagramme est une famille d'objets de indexée par les objets de . La limite d'un tel diagramme, lorsqu'elle existe, est le produit, et la colimite la somme. Ainsi, lorsque est la catégorie discrète à deux objets, la limite de est un simple produit binaire.
Lorsque est de la forme , le diagramme est appelé un span. Sa colimite est une somme amalgamée.
Lorsque est de la forme , le diagramme est appelé un cospan. Sa limite est un produit fibré.
Références
Articles connexes Diagramme commutatif Span (théorie des catégories) Limite (théorie des catégories)
Catégorie:Théorie des catégories