En théorie des nombres, le théorème d'Erdős-Surányi, ex. 15.. établit que tout entier n s'écrit, d'une infinité de façons, sous la forme :
Démonstration On vérifie aisément que m – (m + 1) – (m + 2) + (m + 3) est indépendant de m et vaut 4. Il suffit alors de trouver pour 0, 1, 2 et 3 des décompositions modulo 4, par exemple :
On obtient ainsi un début de décomposition de n, de la forme
(dont tous les termes — en particulier N — dépendent du reste r de la division euclidienne de n par 4 et du choix d'une décomposition de r modulo 4). Il suffit alors de remplacer 4q = ±4|q| par |q| décompositions consécutives de ±4 du type partant de m = N + 1. À partir d'une décomposition de n, on peut toujours en construire une plus longue, en ajoutant de même deux décompositions consécutives de 4 et –4.
Exemple : pour n = 9, congru à 1 modulo 4, on trouve ainsi :
mais on a aussi :
ce qui montre que l'algorithme n'est pas optimal d'un point de vue longueur.
Généralisations
Bleicher a remplacé l'exposant 2 par n'importe quel exposant p positif : tout entier n peut s'écrire d'une infinité de façons sous la forme :
Exemples :
De manière apparemment indépendante., Bodini Olivier Bodini, Pierre Duchet et Sandrine Lefranc, « Autour d'un théorème d'Erdős sur les combinaisons à coefficients + ou -1 des premiers carrés », RMS, vol. 112, 2001, . et Yu. ont étendu ce résultat en remplaçant k par f(k), où f est n'importe quel polynôme à valeurs entières dont le PGCD des valeurs est égal à 1.
Boulanger et Chabert l'ont encore étendu, en remplaçant de plus l'anneau des entiers relatifs par celui des entiers d'un corps cyclotomique (et ±1 par les racines de l'unité dans ce corps).
Notes et références
Voir aussi Articles connexes Problème de Waring Problème de Prouhet-Tarry-Escott
Lien externe
Catégorie:Équation diophantienne Erdos