vignette|Triangle ABC de médiane AI et de hauteur AH.
En géométrie euclidienne, le théorème de la médiane, ou théorème d'Apollonius, ou formules de la médiane, désigne les trois identités suivantes., sur des distances et des produits scalaires, dans un triangle ABC de médiane AI et de hauteur AH :
Premier théorème de la médiane ou théorème d'Apollonius
Ce théorème est une reformulation de l'identité du parallélogramme.
Démonstration par le produit scalaire
Cette propriété est un cas simple de la réduction de la fonction scalaire de Leibniz : il suffit de faire intervenir le point I dans les deux vecteurs et , par la relation de Chasles :
On développe :
Le point I est milieu de [BC], donc et sont opposés, ce qui implique que les produits scalaires s'éliminent et IC = IB donc
Démonstration n'utilisant que les théorèmes sur les distances
Soit H le pied de la hauteur issue de A. Les trois triangles AHB, AHC et AHI sont rectangles en H ; en leur appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :
On en déduit :
On exprime HB et HC en fonction de HI et BI. Quitte à intervertir B et C si nécessaire, on peut toujours supposer que B et H sont du même côté de I. Alors,
On peut donc transformer, dans l'expression ci-dessus de , la sous-expression
En remplaçant, on obtient :
Généralisation à toute cévienne La démonstration ci-dessus par le produit scalaire se généralise, ce qui permet de démontrer :
Deuxième théorème de la médiane
La démonstration utilise la même décomposition des vecteurs et que ci-dessus :
Théorème de la médiane pour un triangle rectangle Il existe un cas particulier relatif au triangle rectangle.
Ce théorème possède une réciproque.
Troisième théorème de la médiane
Plus précisément :
où et désignent des mesures algébriques par rapport à un même vecteur directeur unitaire de la droite (BC). Il suffit d'utiliser le produit scalaire et les identités remarquables :
La projection de sur (BC) est d'où
Notes et références
Voir aussi Théorème de Stewart
Mediane Catégorie:Géométrie du triangle