vignette|Série de 20 échantillons de 10 tirages suivant tous une même loi normale de moyenne μ inconnue. L'intervalle de confiance de niveau 50 % pour la moyenne de chaque échantillon est représenté par un segment de couleur bleue si l'intervalle contient μ ; rouge dans le cas contraire, ce qui arrive effectivement ici environ une fois sur deux. En statistique, un intervalle de confiance est un intervalle censé contenir un paramètre inconnu de la loi de probabilité d’une variable quantitative, que l'on cherche à estimer à partir d’un jeu de données. On peut ainsi obtenir une fourchette d’estimation d’un indicateur numérique usuel tel que la moyenne, la médiane ou la variance à partir d’un échantillon, et dont les bornes dépendent également de la famille de lois de probabilité considérée. La notion s’applique à d’autres paramètres et peut aussi se construire à partir de données statistiques plus complexes, par exemple issues d’un processus stochastique.
La définition de l’intervalle de confiance est subtile et souvent mal comprise., en particulier parce que l'intervalle construit peut contenir la valeur du paramètre inconnu ou pas. En considérant que les données sont issues d’un tirage aléatoire, les bornes calculées sont aléatoires aussi tandis que le paramètre à encadrer est déterministe. On associe à l’intervalle un niveau de confiance souvent exprimé sous la forme d'un pourcentage, le plus souvent à 95 %. Cela signifie que la méthode a 95 % de chances de produire un intervalle contenant la vraie valeur du paramètre inconnu.
En particulier, cette notion permet de définir une marge d'erreur entre les résultats d'un sondage (noté p dans la formule ci-dessous) et un relevé exhaustif (noté f dans la formule ci-dessous) de la population totale. Par exemple, pour une question fermée à deux modalités (oui/non) posée à (noté n dans la formule ci-dessous) représentatives d’une population bien plus grande, il y a au moins 95 % de chances que la proportion de réponses obtenues par le sondage soit bonnes à 3% près de celles de qu'aurait obtenu un relevé exhaustif de la population totale. avec Pour obtenir un intervalle plus réduit, donc plus précis, sans changer le nombre de sondés, il faut accepter un niveau plus faible, donc un plus grand risque de se tromper. Au contraire, pour réduire le risque d’erreur, on peut élargir l’intervalle.
Pour estimer simultanément plusieurs paramètres ou des paramètres vectoriels, la notion d’intervalle de confiance se généralise avec celle de .
Attention, la notion d'intervalle de confiance ne doit pas être confondue avec celle d'intervalle de fluctuation. Ce dernier est déterminé par le paramètre et encadre une variable aléatoire. Mais c’est précisément en renversant les inégalités d’un intervalle de fluctuation, issu du théorème central limite ou de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que l’on peut obtenir l’expression d’un intervalle de confiance, comme celui qui estime l’espérance d’une loi à partir de la moyenne empirique et d’une majoration de l’écart type.
La construction d’un intervalle de confiance vise en général à produire l’intervalle le plus étroit possible qui contient le paramètre au niveau de confiance donné, tandis qu’un estimateur sans biais doit faire correspondre son espérance avec le paramètre, tenant ainsi compte des valeurs extrêmes de la distribution, même improbable. Il est donc tout à fait possible qu’un estimateur classique du paramètre se retrouve extérieur à l’intervalle de confiance sur le même jeu de données.
Définition Soit un espace de probabilités, une partie de l'ensemble des mesures de probabilités sur , une application de dans et un réel. On appelle intervalle de confiance pour le paramètre au niveau de confiance relativement à une fonction mesurable de l'ensemble vers l'ensemble des intervalles de vérifiant, pour tout ,
On appelle intervalle de confiance asymptotique pour le paramètre au niveau de confiance relativement à une suite de fonctions mesurables de l'ensemble vers l'ensemble des intervalles de vérifiant, pour tout ,
Le cas d'un échantillon i.i.d. de taille de variables aléatoires à valeurs dans un espace de probabilités entre dans ce cadre. On a alors une partie de l'ensemble des mesures de probabilités sur , une application de dans et on prend , l'ensemble des mesures sur de la forme , et . Le cas des statistiques de processus entre également dans ce cadre en prenant pour l'ensemble des fonctions continues à droite avec des limites à gauche à valeurs dans un espace polonais, muni de la topologie de Skorokhod.
Le cadre le plus usuel des intervalles de confiance asymptotiques est celui d'une suite i.i.d. à valeurs dans un espace de probabilités . On a alors une partie de l'ensemble des mesures de probabilités sur , une application de dans et on prend , l'ensemble des mesures sur de la forme , , et pour tout , ne dépend que de .
La notion se généralise à celle de zone (ou région) de confiance lorsque est à valeurs dans pour entier. La fonction mesurable est alors à valeurs dans l'ensemble des fermés de , muni de la topologie de Fell et de la tribu borélienne associée (la topologie de Fell est l'analogue de la topologie de Hausdorff sur l'ensemble des compacts, obtenue en compactifiant ). Généralement, la zone de confiance est un parallélépipède ou un ellipsoïde.
Histoire
À la fin du , le mathématicien Laplace calcule le taux de natalitéPlus précisément, il calcule son inverse, appelé « multiplicateur des naissances ». sur quelques paroisses et en déduit la population de la France entière à partir du nombre total de naissances, consigné dans les registres de baptêmes de l'annéeAlain Desrosières, « Le nombre et la constitution », Histoire des nombres, Éditions Tallandier, Paris 2007.. Mais il va plus loin en joignant à cette évaluation par proportionnalité une estimation de l'erreur commise.
En effet, s'il est théoriquement possible que la valeur observée sur quelques cas particuliers corresponde exactement à la valeur sur l'ensemble de la population, il est théoriquement possible aussi que l'échantillon choisi ne soit pas du tout représentatif. Or le calcul de probabilités, qui s'est développé depuis le , permet de décrire la probabilité qu'il y ait un écart donné entre ces deux valeurs. En fixant un seuil à cette probabilité, il est alors possible de majorer l'écart.
La dénomination « intervalle de confiance » est due à Jerzy NeymanGeorges Morlat, « Statistique », Dictionnaire des mathématiques – fondements, probabilités, applications, Encyclopædia Universalis et Albin Michel, Paris 1998.. Exemple introductif : encadrement d'une proportion vignette|Pour estimer la proportion de personnes qui portent un chapeau, on sélectionne un échantillon. De cet échantillon, on calcule un intervalle de confiance (en vert). Avec une grande probabilité, la réalisation de l'intervalle de confiance contient la vraie proportion (inconnue). Dans cette section, nous présentons l'intervalle de confiance pour un sondage. On construit d'abord un intervalle de fluctuation, puis un intervalle de confiance.
Contexte Cherchons à estimer la proportion réelle de la population se reconnaissant dans une catégorie donnée (qu’elle soit médicale, sociale, politique...). Il n'est pas possible d'avoir l'information pour tous les individus car il y a trop d'individus dans la population. Au lieu de cela, on réalise un sondage. Ainsi, on pose la question à un nombre d’individus (pas nécessairement différents) tirés au hasard. On calcule ensuite la proportion observée définie comme le quotient du nombre de réponses positives par le nombre de personnes sondées. On suppose tout de même que est suffisamment grand pour profiter de la loi des grands nombres et du théorème central limite. La loi des grands nombres assure qu’il est très probable que la fréquence observée soit proche de la proportion . Dans la suite, nous allons montrer la formulation suivante :
Autrement dit, le sondage produit une estimation (la proportion observée) et il y a (au moins) 95 % de chances que la vraie valeur soit dans l'intervalle de confiance . Dans cette formulation simple, on voit, pour un niveau de confiance fixé (ici 95 %), quand le nombre de personnes sondées augmente, alors l'intervalle de confiance se resserre autour de . Avant de construire l'intervalle de confiance, construisons un intervalle de fluctuation.
Obtention de l'intervalle de fluctuation Le nombre de réponses positives suit une loi binomiale de paramètre . Sa moyenne est et l'écart type est . Ainsi la variable suit une loi paramètre et d'écart type . Grâce au théorème central limite, la loi de probabilité de est proche d’une loi normale de moyenne et d'écart type . Avec cette approximation, on obtient avec une certaine probabilité , un encadrement de la forme , où est le quantile d'ordre de la loi normale centrée réduite. Plus précisément, la valeur de provient des tables de la loi normale centrée réduite. La valeur de est d’autant plus grande que l’on souhaite un niveau de confiance élevé, ce qui dégrade la précision. En particulierLes valeurs de indiquées correspondent au quantile double, puisque les intervalles sont symétriques par rapport à 0., pour un niveau de 90 %, on a , mais pour un niveau de 95 %, on a . L'intervalle est appelé intervalle de fluctuation.
De l'intervalle de fluctuation vers l'intervalle de confiance La résolution des inéquations apparaissant dans l’encadrement de donne un encadrementGilles Saporta, Probabilités, analyse de données et statistique, §13.5.4 « Intervalle de confiance pour une proportion p », Éditions TECHNIP, Paris 2011 de entre les bornes . Ainsi par un développement asymptotique, on retrouve l’encadrement suivant qui définit l’intervalle de confiance classique : .
La symétrie des relations entre et dans ce contexte ne se vérifie pas forcément dans d’autres problèmes d’estimation. En outre, l’expression obtenue repose sur deux approximations successives, de la loi binomiale par la loi normale d’abord, puis de la fraction par les premiers termes du développement asymptotique ensuite.
Les inégalités et mènent à l’approximation par un intervalle de confiance légèrement plus grand mais à la formulation plus simpleVoir par exemple le document ressource pour les probabilités de la classe de terminale en France, page 32, réalisé par le Ministère de l’éducation nationale en février 2012. .
Principe général On considère une famille de variables aléatoires , dont la loi conjointe est définie par un ou plusieurs paramètres inconnus. Il s’agit souvent d’un échantillon, c’est-à-dire que les variables sont indépendantes et identiquement distribuées, mais on peut traiter également des familles de variables provenant d’un processus stochastique.
Pour obtenir un intervalle de confiance sur l’un des paramètres , on peut essayer de calculer une nouvelle variable aléatoire à partir des précédentes et du paramètre à déterminer, dont la loi soit connue et dont on puisse exprimer des quantiles et tels que la probabilité soit égale (ou supérieure) au niveau de confiance souhaité. La résolution algébrique des inéquations peut fournir alors un encadrement de qui constitue un intervalle de confiance.
Intervalles de référence
La table suivante donne des intervalles de confiance de référence de niveau de confiance . On considère un échantillon où les sont indépendantes et identiquement distribuées. On note l'espérance et l'écart-type communs aux . On note la moyenne empirique. +HypothèsesAsymptotique ?Paramètre estiméIntervalleInformations supplémentairesSources suivent une loi normale