Le théorème d'approximation de Korovkin est un résultat d'analyse fonctionnelle découvert par dans les années 1950... Il permet de se contenter, pour démontrer que certains processus d'approximation convergent pour toutes les fonctions considérées, de le vérifier pour un ensemble fini d'entre elles. Il unifie ainsi divers procédés comme celui de Bernstein, 3.6., qui fournit l'une des preuves du théorème de Weierstrass. Élémentaire mais fructueux, il est à l'origine d'une branche active de la théorie constructive de l'approximation...
Énoncé Soient C([a, b]) l'espace des fonctions réelles continues sur un segment réel [a, b], et (P) une suite d'opérateurs linéaires de C([a, b]) dans C([a, b])Ou même dans ℝ : .. Si P(f) converge uniformément sur [a, b] vers f pour les trois fonctions monomiales f(x) = 1, f(x) = x et f(x) = x, alors il en est de même pour toute fonction f de C([a, b]), ...
Démonstration Soit une fonction continue sur . Montrons, sous une forme plus générale à peu de frais. que la suite des fonctions converge uniformément vers sur . Fixons un réel .
L'application , continue sur le compact , est : uniformément continue (d'après le théorème de Heine). Il existe donc tel que bornée (d'après le théorème des bornes). Notons un majorant de ||.
Soit . Pour tout , on a : si alors ; si alors .
La valeur est donc toujours comprise entre
Par positivité des opérateurs , on en déduit que
Or et sont des polynômes du second degré — c'est-à-dire des combinaisons linéaires de , et — donc (par hypothèse sur les )
uniformément sur . De plus, puisque les coefficients de ces deux combinaisons linéaires sont des fonctions bornées de , la convergence est également uniforme par rapport à . Il existe donc tel que pour tout et tous :
en particulier :
d'où finalement :
On a donc bien :
Notes et références
Korovkin