En mathématiques, une équation entre différentes variables où une variable n'est pas explicitée en fonction des autres est appelée une équation implicite. Une fonction implicite est une fonction qui se déduit implicitement d'une telle équation.
Plus précisément si est une fonction de E × F dans G, où E, F et G sont des espaces vectoriels normés ou plus simplement des intervalles de R, l'équation définit une fonction implicite si l'on peut exprimer une des variables en fonction de l'autre pour tous les couples vérifiant l'équation.
Ou encore, l'équation définit une fonction implicite de E vers F, s'il existe une fonction dite explicite telle que, pour tout de E × F, équivaut à . Cela revient à dire que le graphe de la relation binaire : est le graphe d'une fonction.
Il est parfois possible de prouver l'existence locale d'une fonction implicite pour une équation touchant deux variables réelles, sans l'exhiber explicitement, les conditions suffisantes d'existence et d'unicité d'une telle fonction sont détaillées dans l'article : théorème des fonctions implicites.
Exemples Considérons l'équation . Les points de dont les coordonnées vérifient cette équation forment une courbe qui passe par le point . Est-ce que possède une tangente en ce point? Si oui, comment la trouver ? C'est ce genre de problèmes auxquels on s'intéresseMichel Raynaud commence son exposé d'octobre 2016 "Comment la géométrie algébrique s'est "séparée" de la géométrie analytique" à l'Institut de Mathématique d'Orsay par des rappels sur les fonctions implicites.. L'équation est associée à la lemniscate de Bernoulli.
l'équation ne définit pas de fonction implicite pour quelconque, mais pour positif, cette équation est équivalente à et est la fonction explicite associée à l'équation. l'équation permet de définir la fonction implicite .
L'équation définit comme fonction implicite de . On ne sait pas exprimer cette fonction explicitement à l'aide de fonctions élémentaires. Par contre, on peut exprimer en fonction de : on a . si est une bijection de E vers F, l'équation induit une fonction implicite de F vers E appelée application réciproque et notée .
Dérivée d'une fonction implicite Il est parfois possible et plus simple de dériver une fonction implicite sous sa forme non explicite.
Si est une fonction numérique de deux variables réelles, continue au voisinage de et différentiable en , et si la dérivée partielle de par rapport à la seconde variable est continue et ne s'annule pas en , la dérivée de en est:
Cette formule peut s'expliquer Pour une démonstration complète voir tout livre d'analyse post bac, par exemple ou . en remarquant que le gradient de en a pour coordonnées :
et indique la direction de plus forte variation de , tandis que le vecteur
qui lui est normal indique la direction de variation nulle, c'est-à-dire la direction de la tangente à la courbe d'équation .
ExempleCet exemple est traité dans .On trouve l'exemple similaire d'un folium de Descartes dans ou . : l'équation est associée à la fonction qui est de classe C, c'est-à-dire qu'elle est différentiable de différentielle continue. Comme
pour tout point , on a
Une telle dérivation peut être utile dans le cas où la fonction est impossible à expliciter
Exemple : L'équation est associée à une fonction de classe C. Le graphe de l'équation est celui d'une fonction car, pour tout valeur de x, il existe au plus une valeur de y rendant vraie l'égalité. Comme
pour tout point , avec , on a En particulier, pour et ,
Voir aussi Équation cartésienne
Notes et références
Bibliographie
Catégorie:Analyse à plusieurs variables Implicite