En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le théorème de Ménélaüs, dû à Ménélaüs d'Alexandrie, précise les relations existant entre des longueurs découpées dans un triangle par une sécante. Il en existe une version plane et une version pour le triangle sphérique.

Triangle plan Énoncé Soit un triangle ABC, et trois points D, E et F des droites (BC), (AC) et (AB) respectivement, différents des sommets du triangle. Les points D, E et F sont alignés si et seulement si :

Une telle droite est appelée une ménélienne — ou une transversale — du triangle ABC.

Remarque : on utilise la mesure algébrique des segments : elle dépend de l'orientation choisie pour la droite support mais le rapport des mesures algébriques de deux segments portés par une même droite est indépendant de l'orientation que l'on choisit pour cette droite (et même de la distance euclidienne de référence).

Démonstration

Soit A le point appartenant à la droite (FD) tel que (AA) soit parallèle à (BD). D'après le théorème de Thalès appliqué aux paires de triangles FBD/FAA et EDC/EA'A, on a respectivement les égalités de rapports de mesures algébriques :

On en déduit que

ce qui équivaut àRéciproquement, soient D, E, F trois points appartenant respectivement aux côtés (BC), (AC) et (AB) d'un triangle et tels que

Supposons d'abord que (EF) et (BC) soient parallèles. En appliquant le théorème de Thalès dans le triangle ABC, on aurait

Compte tenu de l'hypothèse, cela implique que soit , donc on aurait B = C ce qui est impossible. On en déduit que (EF) et (BC) sont sécantes et on appelle X leur point d'intersection.

Comme démontré plus haut, on a

et d'après l'hypothèse, on a donc ce qui implique X = D. Les points D, E et F sont donc alignés.

Dans un espace affine de dimension quelconque Le théorème précédent se généralise aux espaces affines de dimension n quelconqueDany-Jack Mercier, Cours de géométrie : préparation au CAPES et à l'agrégation, Publibook, 2005 , .. Énoncé Soit E un espace affine de dimension n, et (A,...,A) une base affine de E. On pose A = A. Pour , soit .

Les points (M,...,M) sont contenus dans un même hyperplan affine de E si et seulement si .

Triangle sphérique vignette|Figure de la sécante, illustration de la version du théorème dans un triangle sphérique. Le théorème plan est démontré par Ménélaüs pour mettre en place la version sphérique du théorèmeVoir le Livre III, prop.1 et Théorème 1 des Sphériques de Ménélaüs, dont on trouve une version actualisée dans ce mémoire de master de M. Duprez, 2011, p. 90-91. qui s'exprime de nos jours Ménélaüs, travaillant sur les cordes et non les sinus, parle, lui, de la corde du double de l'arc. sous la forme suivante :

Cette formule, appelée aussi formule de la figure sécante, ., ou théorème de Ménélaüs sur le quadrilatère sphérique completBoris A. Rosenfeld et Adolf P. Youschkevitch, « Géométrie », dans Roshdi Rashed, Histoire des sciences arabes, Seuil, 1997, ., est à la base des résultats de géométrie sphérique dans l'Almageste de Ptolémée et a été longtemps la principale formule de l'astronomie arabe avant que ne soit démontrée la règle des sinus.Principe de la démonstration ''': Par une projection de centre O (centre de la sphère) sur le plan ABC, les points D, E, F se projettent en D, E, et F alignés et situés respectivement sur les droites (AB), (BC) et (CA). Ménélaüs démontre l'égalité des rapports sin(DA)/sin(DB) et D'A/D'B, etc. Puis il utilise son théorème plan dans le triangle (ABC) coupé par la droite (DEF'').

Bibliographie

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes Théorème de Ceva Théorème de Carnot (courbe algébrique) Lien externe (démonstration interactive)

Menelaus Catégorie:Géométrie du triangle Catégorie:Théorie des transversales