En géométrie euclidienne, le théorème de Stewart fournit une relation algébrique entre les distances mutuelles de quatre points dont trois sont alignés. Il est dû au mathématicien Matthew Stewart en 1746 .
Énoncé Étant donné un point et une droite orientée comportant trois points , la relation de Stewart s'écrit....:.Si, par exemple, se trouve entre et , on peut ôter les barres de mesure algébrique : .
Démonstrations
Première démonstration (produit scalaire) vignette
Cette démonstration repose sur le calcul de produits scalaires.
Notons le projeté de sur la droite portant .
En utilisant le produit scalaire, on obtient les deux égalités:
En multipliant la première égalité par et la deuxième par , puis, en en faisant la somme, on élimine :
soit
D'où la relation demandée.
Deuxième démonstration (fonctions de Leibniz) Montrons que la relation de coplanarité des vecteurs s'écrit. En effet la fonction est une fonction vectorielle de Leibniz dont les coefficients ont une somme nulle ; elle est donc constante. En faisant , on obtient que la constante est nulle.
Dans ce cas, on sait que la fonction scalaire de Leibniz associée est constante elle aussi. En faisant , on obtient la valeur de cette constante, puis la relation de Stewart.
Troisième démonstration (coordonnées) Dans un repère orthonormé d'origine , le premier vecteur de la base dirigeant la droite () , les points ont pour coordonnées : .
La relation de Stewart s'écrit alors qui se démontre par développement.
Quatrième démonstration (volume du tétraèdre) Le carré du volume du tétraèdre est égal, en utilisant le déterminant de Cayley-Menger, à:
Si l'on remplace par , on obtient , soit . Le volume étant nul, on obtient la relation de Stewart.
Application au triangle
Énoncé
Écrite sous la forme , elle permet d'obtenir la distance du sommet au pied de la cévienne.
Démonstrations
Il s'agit d'une traduction de la relation ci-dessus.
On peut aussi la démontrer en écrivant que exprimés par le théorème d'Al-Kashi .
On peut utiliser la formule de réduction de la fonction scalaire de Leibniz pour un barycentre de deux points.
En effet, le pied de la cévienne est le barycentre de et affectés des coefficients et . La fonction scalaire de Leibniz dans ce cas précis est
La réduction de la fonction scalaire de Leibniz en en utilisant le barycentre s'écrit :
Or et , d'où la relation.
Cas particuliers Si la cévienne est une médiane, et l'on retrouve la formule de la médiane : .
Si la cévienne est une bissectrice, d'après le théorème de la bissectrice intérieure du triangle, , et où est le demi-périmètre .
Si la cévienne est une hauteur, l'élimination de et entre la relation de Stewart , et les relations et permet d'obtenir la formule : .
Sachant , on retrouve la formule de Héron donnant l'aire du triangle. vignette|300x300px|.
Application à un sangaku Avec les notations précédentes, on cherche la longueur de la cévienne lorsque les disques inscrits dans et ont même rayon.
La condition d'égalité des rayons s'écrit et l'on obtient .
Le sangaku est mentionné sur une tablette datée de 1897 et localisée dans la préfecture de Chiba.
Autre application
La relation de Stewart est à la base de la démonstration de l'existence d'un troisième foyer pour un ovale de Descartes.
Plus précisément, l'ovale de Descartes d'équation : , avec ,
a pour troisième foyer le barycentre de et affectés des coefficients et , et les deux autres équations de l'ovale sont :
.
Posant et , la relation de Stewart s'écrit .
En éliminant entre les relations (1) et (2), on obtient comme trinôme du deuxième degré en ; la recherche des valeurs de pour lesquelles ce trinôme est un carré donne les possibilités ; les deux premières solutions redonnent et , et la troisième donne bien pour le barycentre de et affectés des coefficients et .
En prenant cette valeur de , et en factorisant , on obtient l'équation de l'ovale de départ à partir des foyers et .
Cas du quadrilatère convexe Soit un quadrilatère convexe, le point d'intersection des diagonales. On a la relation de Stewart pour le quadrilatère:Elle se démontre à partir de la formule d'Al-Kashi dans les triangles .
Dans le cas où est un parallélogramme, elle donne l'égalité du parallélogramme.
Voir aussi Le théorème de Holditch, qui en constitue une généralisation.
Liens externes
Références
Stewart Catégorie:Géométrie du triangle