En mathématiques, les nombres multicomplexes de symbole () constituent une famille d’algèbres hypercomplexes associatives et commutatives de dimension sur ℝ. Ils ont été introduits par Corrado Segre en 1892.
Définition
Par récurrence
Les algèbres multicomplexes ℂ se construisent par récurrence, en posant comme initialisation. En supposant l’algèbre déjà construite, on introduit une nouvelle unité imaginaire vérifiant et commutant avec les précédentes unités imaginaires : on définit alors .
Directe
Pour , et commutent avec tout nombre de ℂ, et (car ). La relation peut donc se réécrire sous la forme du produit tensoriel d'algèbres . En outre, puisque , on a , d’où . ℝ étant l’élément neutre de ⊗, et donc son produit vide, on a donc :
Propriétés algébriques
Le nombre de composantes doublant à chaque rang et étant de dimension 1 sur ℝ, ℂ est de dimension sur ℝ. Chaque ℂ est une algèbre de Banach. Pour , par commutativité de l’algèbre, ℂ possède des diviseurs de zéro : pour , on a , et ; pour , on a , et .
Isomorphisme avec les nombres multicomplexes de Fleury
.
Sous-algèbres
Pour , ℂ, …, ℂ sont des sous-algèbres de ℂ. Pour , ℂ est de dimension sur ℂ. Pour , chaque unité vérifie , donc ℂ contient copies du plan complexe. Pour et , chaque nombre vérifie , donc ℂ contient copies du plan des complexes déployés.
Cas particuliers
Les cas ont des noms consacrés : ℂ : nombre réel (ℝ) ; ℂ : nombre complexe (ℂ) ; ℂ : nombre bicomplexe ; ℂ : nombre tricomplexe.
Voir aussi
Bibliographie
Corrado Segre, The real representation of complex elements and hyperalgebraic entities, Mathematische Annalen, 1892, 40:413–467. Griffith Baley Price, An Introduction to Multicomplex Spaces and Functions, Marcel Dekker, New York, 1991.
Multicomplexe