En mathématiques et plus précisément en théorie des nombres, la formule de Legendre donne une expression, pour tout nombre premier et tout entier naturel , de la valuation p-adique de la factorielle de (l'exposant de dans la décomposition en facteurs premiers de ǃ, ou encore, le plus grand entier tel que divise !) :
où désigne la partie entière de , également notée .
Cette formule peut se mettre sous la deuxième forme
où désigne la somme des chiffres de en base .
Historique Adrien-Marie Legendre a publié et démontré cette formule dans son livre de théorie des nombres en 1830. Elle porte aussi parfois le nom d'Alphonse de Polignac.
Version récursive On a également la relation de récurrence :
permettant un calcul récursif très simple de .
Par exemple, par combien de le nombre ?
,
or .
Le nombre se termine donc par zéros.
Exemples d'applications vignette|300x300px|En rouge, courbe de , nombre de zéros terminant en fonction de . En vert le majorant , en bleu le minorant . Rouge=vert pour , rouge = bleu pour .Pour fixé, cette formule montre que l'application est décroissante, c'est-à-dire que toute factorielle est un produit de primorielles. Comme , ; par exemple, se termine par environ zéros. Plus précisément, comme où est le nombre de chiffres de n en base p, on a l'encadrement : , avec égalité à droite si et seulement si est une puissance de et égalité à gauche si et seulement si est une puissance de moins un. Un entier vérifie si et seulement si est une puissance de 2. En effet, est une puissance de 2. Les coefficients binomiaux sont entiers par définition. Redémontrons-le à partir de l'expression (pour ). Pour cela, il suffit de vérifier que pour tout nombre premier , . D'après la formule de Legendre et la propriété , on a bien : .
Cette propriété équivaut au fait que le produit de entiers consécutifs est divisible par !.
Pour l’exposant de 2 dans la décomposition en facteurs premiers du coefficient binomial central est donné par le nombre de 1 dans l’écriture binaire de .
En effet, d'après la deuxième forme de la formule, .
Pour le cas général d'un coefficient binomial quelconque, voir le théorème de Kummer sur les coefficients binomiaux.
Démonstration de la formule de Legendre Remarquons d'abord que pour , .
Parmi les entiers de à (dont est le produit), les multiples de sont au nombre de , donc ceux dont la valuation p-adique est exactement sont au nombre de . Par conséquent, , ce qui, après simplification, donne la première forme de la formule.
Pour obtenir la seconde forme, considérons la décomposition de en base : (avec pour ). Alors, . La version récursive peut se démontrer directement ou se déduire de la première égalité en utilisant le fait que .
Voir aussi Articles connexes Fonction exponentielle p-adique (il résulte de la formule de Legendre que son rayon de convergence est ) Lemme LTE donnant la valuation p-adique de . Liens externes Pierre Bornsztein , Cours d'arithmétique de préparation aux Olympiades internationales de mathématiques, p. 12-14, 25-26, 32 et 105
Notes et références
Catégorie:Théorie des nombres