En géométrie différentielle, un voisinage tubulaire d'une sous-variété S d'une variété différentielle M est un ouvert de M, qui contient S et « ressemble à » son fibré normal.
Définition Soient S ⊂ M deux variétés différentielles. Un voisinage tubulaire de S dans M est constitué d'un fibré vectoriel E → S et d'un difféomorphisme de E sur un ouvert U de M, par lequel tout point s de S est l'image du vecteur nul de E.
Par abus de langage, cet ouvert U, ipso facto voisinage de S et fibré sur S, est aussi appelé un voisinage tubulaire de S.
Existence
Dans le cas où la variété ambiante M est un espace euclidien R, on trouve un tel voisinage en choisissant, dans le fibré normal à S, un ouvert V autour de la section nulle, suffisamment petit pour que la restriction à V de l'application soit un plongement.
Supposons S ⊂ M = R et notons f l'application NS → R, (s, v) ↦ s + v. En tout point (s, 0) de la section nulle de NS, la différentielle de f est l'identité de TS⊕NS = R, donc f est un difféomorphisme au voisinage de ce point, c'est-à-dire qu'il existe un réel δ > 0 tel que f soit un difféomorphisme de
sur son image. Notons alors ε la borne supérieure de ces « bons rayons δ pour s », et supposons que tous les ε sont finis (sinon, V = NS convient et la preuve est terminée).
Pour tous points s et s de S, puisque (pour tout δ > 0)
on a
c'est-à-dire
La fonction s ↦ ε est donc continue (et même 1-lipschitienne), si bien que l'ensemble
est un ouvert de NS (qui contient la section nulle).
La restriction de f à V est un difféomorphisme local, et il reste à vérifier qu'elle est injective. Si (s, v) et (s, v) appartiennent à V et ont même image par f alors, en supposant par exemple ε ≤ ε puis en choisissant δ strictement compris entre ║v║ + ║v║ et ε, on déduit de
que (s, v) et (s, v) appartiennent tous deux à V(s), sur lequel f est injective. Ils sont donc égaux, ce qui conclut.
Le cas d'une variété M quelconque se déduit du cas précédent, en supposant sans perte de généralité que M est connexe, puis. en la plongeant dans un espace euclidienLe « théorème de Whitney facile » suffit : toute variété sans bord à base dénombrable de dimension n admet un plongement dans R — et même un plongement d'image fermée (, , Theorem 10.8), si bien que la lacune signalée dans la note précédente n'est pas rédhibitoire. et, pour un voisinage tubulaire r : U → M de M dans cet espace, en prenant comme voisinage de S l'ensemble des r(s + v), pour tous les (s, v) de NS tels que s + v appartient à U.
Unicité Le voisinage tubulaire de S dans M est unique à isotopie près., c'est-à-dire que si U et U sont deux tels voisinages, alors il existe un plongement de dans de la forme tel que F = id, chaque F fixe S, et F soit un isomorphisme de fibrés de U → S dans U → S.
Références
Voir aussi
Articles connexes Chirurgie des variétés Dualité de Poincaré Espace de Thom Bibliographie , ou de ce .pdf de 2006
, vol. 1, éd., ou éd.
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