La cinétique du point matériel ou sans masse est une théorie définissant le mouvement d'une particule de masseil s'agit de la masse inerte positive ou nulle dans un référentiel en tenant compte de son inertie (c'est-à-dire principalement de sa masse inerte).
La cinétique du point matériel apparaît sous sa forme classiquela cinétique classique (ou newtonienne) restreint l'étude aux particules non relativistes [dans ce cas la cinétique classique est la réunion de la cinématique classique et de la notion de grandeur inertielle adaptée - principalement la masse (inerte)] avec Isaac Newton (1643 - 1727) ; plus de deux siècles plus tard - en 1905 - Albert Einstein (1879 - 1955) crée la cinétique des particules matérielles sous sa forme relativistela cinétique relativiste s'applique à toutes les particules qu'elles soient relativistes ou non [la cinétique relativiste inclut donc la cinétique classique, cette dernière étant la limite de la première aux faibles vitesses (approximativement , étant la vitesse de la lumière dans le vide)], mais son introduction devient incontournable dès lors que les vitesses sont de valeurs non faibles voire maximales ainsi que celle du photon (base de la cinétique des particules sans masseles particules se déplaçant à la vitesse de la lumière n'ayant pas de masse et étant de même cinématique, seule la cinétique permet de les distinguer entre elles d'où le caractère incontournable de cette notion).
Définitions des grandeurs cinétiques On définit trois grandeurs cinétiques pour décrire le mouvement d'une particule dans un référentiel en tenant compte de son inertie :
Quantité de mouvement La quantité de mouvement d'une particule est usuellement notée , sa définition dépend de la cinétique utilisable :
En cinétique classique
où est la masse de la particule et sa vitesse (avec correspondant pratiquement à ).
En cinétique relativiste des particules massiques Pour une particule ayant une masse et une vitesse (avec )la vitesse ne pouvant pas être atteinte pour des particules de masse non nulle :
(si la masse , rendant la formule inapplicable dans le cas limite des particules de masse nulle).
En cinétique (relativiste) des particules de masse nulle Pour des particules de masse nulle (essentiellement des photons) :
la première étant de norme variablevoir le paragraphe 4.2 où la norme de la quantité de mouvement est définie proportionnellement à l'énergie (cinétique) et la seconde de norme constante.
Unité Dans le système international d'unités (ou ), la norme de la quantité de mouvement s'exprime en .
Moment cinétique (relativement à un point O du référentiel) Le moment cinétique d'une particule (relativement à un point du référentiel) est noté (ou ).
En cinétique classique ou relativiste, quelle que soit la masse Ce dernier est défini comme le « moment de la quantité de mouvement calculé par rapport à »grandeur définie à partir du produit vectoriel de deux vecteurs
où est la position de la particule à l'instant considéré.
Unité Dans le système international d'unités (ou ), la norme du moment cinétique d'une particule s'exprime en .
Énergie cinétique L'énergie cinétique est la seule grandeur scalaire parmi les trois principalesen effet il existe une quatrième grandeur cinétique, le moment cinétique relativement à un axe , noté , qui est une grandeur scalaire définie comme la projection sur l'axe du moment cinétique relativement à un point quelconque de cet axe soit , elle est usuellement notée (ou ou encore ), sa définition dépend de la cinétique utilisable :
En cinétique classique
En cinétique relativiste des particules massiques Pour une particule de masse , de vitesse (avec ) et de facteur de Lorentz « »en effet :
le plus souvent on remplace l'utilisation de l'énergie cinétique par l'énergie totale ; celle-ci est l'énergie cinétique décalée d'une constante égale à l'énergie de masse c.-à-d. :
En cinétique (relativiste) des particules de masse nulle Pour des particules de masse nulle :
Unité Dans le système international d'unités (ou ), l'énergie cinétiqueet, en cinétique relativiste, l'énergie totale s'exprime en joules de symbole .
Propriétés des grandeurs cinétiques classiques (ou newtoniennes) Cette cinétique s'applique aux particules ayant une masse et une vitesse telle que (où est la vitesse de la lumière dans le vide), ce qui correspond approximativement à et plus précisément à à 1 % prèsla justification peut être vue au § 3.1.2 en ce qui concerne la quantité de mouvement ainsi qu'au § 3.3.2 en ce qui concerne l'énergie cinétique ;
bien que la masse d'une particule soit invariante par changement de référentiel, la cinétique - comme la cinématique - dépend du référentiel.
Pour toute particule matérielle et dans tout référentiel on a défini trois grandeurs cinétiques, deux vectorielles sa quantité de mouvement ainsi que son moment cinétique relativement à O (point fixe ou mobile du référentiel) et une scalaire son énergie cinétique.
Quantité de mouvement
Formellement la grandeur cinétique est le produit de la grandeur cinématique et de la grandeur d'inertie , elle représente une réserve vectorielle exprimant le mouvement mais aussi l'inertie de la particule.
Moment cinétique relativement à O
Formellement le moment cinétique relativement à est le produit vectoriel de « »appelé vecteur position de la particule à l'instant considéré si est l'origine du repère ou vecteur déplacement de relativement à si ce dernier - fixe ou mobile - n'est pas l'origine du repère et de la première grandeur cinétique, « la quantité de mouvement », il représente vectoriellement une réserve exprimant le mouvement mais aussi l'inertie de la particule, le tout relativement au point .
Relation de changement de point par rapport auquel le moment cinétique est défini et étant deux points quelconques (fixes ou mobiles dans le référentiel ), les moments cinétiques de la particule relativement à chaque point et sont liés entre eux par :.
Preuve : dans la définition de , on utilise la relation de Chasles d'où puis la distributivité du produit vectoriel par rapport à l'addition soit dont on tire la relation cherchée, en reconnaissant dans le dernier terme le moment cinétique relativement à , soit .
Cas d'un mouvement rectiligne Si on choisit l'origine de calcul des moments sur la trajectoire de la particule, on a et, par définition du produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires, .
Cas d'un mouvement circulaire
Expression du vecteur vitesse en fonction des vecteurs position et rotation Dans le cas d'un mouvement de rotation de rayon autour du point , de vecteur rotation (ou résultante du torseur cinématique) où est la vitesse angulaire de rotation autour de l'axe passant par et le vecteur unitaire de l'axe définissant le sens positif de rotation, le vecteur vitesse de la particule positionnée en à l'instant considéré s'exprime selon :
Expression du moment cinétique en O Si on reporte l'expression du vecteur vitesse dans la définition du moment cinétique en on obtient ou encore et, en utilisant la formule du double produit vectoriel , cela donne car ; finalement :
Dans le système international d'unités (ou ) le moment d'inertie s'exprime en .
Le moment d'inertie est une deuxième grandeur d'inertie introduite (la première étant la masse) et, à l'aide de cette autre grandeur d'inertie, on retrouve, dans le cas de la rotation d'une particule, la relation formelle écrite dans le cas général à savoir :
Cas d'un mouvement plan curviligne (non circulaire) Le mouvement étant plan, on y choisit fixe ; on repère la particule par ses coordonnées polaires dans le plan du mouvement, ce plan étant orienté par le vecteur unitaire de l'axe passant par et au plan , tel que la base cartésienne , choisie orthonormée, soit directe [base encore notée ] ; la base polaire associée à la particule est notée ou , c'est un cas particulier de la base cylindrique d'axe notée ou également directe ;
la particule, positionnée en à l'instant considéré, a un vecteur position et un vecteur vitesse ou ;
on en déduit soit, avec la distributivité du produit vectoriel par rapport à l'addition et avec ainsi qu'avec , on obtient l'expression suivante :
Énergie cinétique L'énergie cinétique (encore notée ou ) peut être définie à partir de la première grandeur cinétique, « la quantité de mouvement », et de la grandeur d'inertie associée, « la masse », selon c.-à-d. formellement la moitié du quotient du carré de la grandeur cinétique sur la grandeur d'inertie associée ;
on élimine aisément la première grandeur cinétique, « la quantité de mouvement », au profit des premières grandeurs cinématique et d'inertie, « la vitesse et la masse », par utilisation de , d'où et on obtient la définition équivalente c.-à-d. formellement la moitié du produit du carré de la grandeur cinématique par la grandeur d'inertie associée ;
on dispose aussi d'une troisième définition équivalente n'utilisant pas la masse, obtenue par soit finalement , formellement la moitié du produit scalaire de la grandeur cinétique et de la grandeur cinématique associée .
Cas d'un mouvement circulaire Pour induire l'expression de l'énergie cinétique on peut utiliser la méthode formelle indiquée ci-dessus, sachant que, dans le cas d'une rotation, la grandeur cinématique intéressante est le vecteur rotation , la grandeur cinétique associée, le moment cinétique relativement au centre de rotation et la grandeur d'inertie correspondante, le moment d'inertie relativement à l'axe de rotation d'où :
l'énergie cinétique est la moitié du quotient du carré de la grandeur cinétique sur la grandeur d'inertie associée , soit ;
l'énergie cinétique est la moitié du produit du carré de la grandeur cinématique par la grandeur d'inertie associée , soit ;
l'énergie cinétique est la moitié du produit scalaire de la grandeur cinétique et de la grandeur cinématique associée , soit .
Pour démontrer ces expressions on peut partir de la définition en y reportant l'expression de la vitesse dans le cas d'un mouvement circulaire , on obtient dans laquelle on reconnaît le produit mixte de trois vecteurs ; on utilise alors l'invariance du produit mixte par permutation circulaire c.-à-d. d'où soit ; le remplacement de par donne la première expression alors que le remplacement de par fournit la seconde.
Dans le cas d'une rotation on peut donc aussi utiliser les trois expressions suivantes de l'énergie cinétique :
Cas d'un mouvement plan curviligne (non circulaire) On choisit dans le plan du mouvement et on y repère la particule par ses coordonnées polaires , le plan du mouvement étant orienté par le vecteur unitaire de l'axe passant par et au plan ; la base polaire associée à la particule est notée ou , c'est un cas particulier de la base cylindrique d'axe notée ou base directe ;
la particule, positionnée en à l'instant considéré, ayant un vecteur vitesse on en déduit l'expression de son énergie cinétique par en utilisant :
Propriétés des grandeurs cinétiques relativistes des particules matérielles La cinétique relativiste s'est développée quasi simultanément à la cinématique et la dynamique relativistes ; cette dernière repose sur deux postulats, appelés postulats d'Einstein (1905) : Principe de relativité : Les lois de la physique ont la même forme dans tous les référentiels galiléens. La vitesse de la lumière dans le vide a la même valeur dans tous les référentiels galiléens. En théorie classique, le caractère galiléen d'un référentiel n'intervient que dans la dynamique [en effet la cinétique est définie dans n'importe quel référentiel, qu'il soit galiléen ou pas, mais pour décrire simplement son évolution éventuelle connaissant ses causes de variation - c.-à-d. pour faire de la dynamique - il est exigé que le référentiel soit galiléen] ;