En mathématique, une fonction Schur-convexe (ou convexe au sens de Schur), aussi appelée S-convexe, fonction isotone ou fonction préservant l'ordre est une fonction telle qu'elle conserve les relations d'ordre : pour tout tels que est majorée par , satisfait .
Nommée d'après Issai Schur, les fonctions Schur-convexes sont utilisées dans l'étude de la majorisation. Toute fonction qui est convexe et symétrique est aussi Schur-convexe, mais l'implication inverse n'est pas toujours vraie. Par contre, toute fonction Schur-convexe est symétrique (par rapport aux permutations de ses arguments)..
Fonction Schur-concave Une fonction est dite Schur-concave si son opposée, -, est Schur-convexe.
Critère de Schur-Ostrowski Si est symétrique et possède des dérivées partielles, alors est Schur-convexe si et seulement si pour tout 1 ≤ i ≠ j ≤ d et en tout point de : ..
Exemples est Schur-concave et est Schur-convexe (ceci se déduit rapidement de la définition des fonctions). La fonction entropie de Shannon est Schur-concave. La fonction entropie de Rényi est aussi Schur-concave. Assez naturellement, les fonctions sont toutes Schur-convexes pour . La fonction est Schur-concave, sur le domaine . De même, les fonctions symétriques élémentaires sont Schur-concaves. Une interprétation naturelle de la majorisation est que si alors est plus étalé que . Il est dès lors naturel de se demander si les mesures statistiques de variabilité sont Schur-convexes. La variance et déviation standard sont toutes les deux des fonctions Schur-convexes mais la valeur absolue des écarts ne l'est pas. Si est une fonction convexe définie sur un intervalle réel, alors est Schur-convexe. Un exemple en probabilité : si sont des variables aléatoires échangeables, alors la fonction espérance est Schur-convexe comme une fonction du multi-indice , sous réserve que l'espérance existe. Le coefficient de Gini est strictement Schur-convexe.
Références
Voir aussi Fonction quasi-convexe
Catégorie:Analyse convexe Catégorie:Inégalité Schur convexe