Un nombre hautement composé supérieur est un entier naturel non nul qui a plus de diviseurs que n'importe quel autre entier relativement à une puissance du nombre lui-même. Cette définition a été formulée par Srinivasa Ramanujan en 1915.
Il s'agit d'une condition plus restrictive que celle d'un nombre hautement composé défini comme un entier strictement positif qui a strictement plus de diviseurs que les nombres qui le précèdent.
Définition Un nombre est dit hautement composé supérieur, s'il existe un réel positif tel que : pour tout entier naturel inférieur à : pour tout entier naturel strictement supérieur à : où est la fonction "nombre de diviseurs" qui à tout entier naturel non nul associe le nombre de ses diviseurs.
Liste Les dix premiers nombres hautement composés supérieurs sont les suivants : Nombre hautement composé supérieur ()2612601203602520504055 440720 720Nombre de diviseurs positifs2461216244860120240Décomposition en facteurs premiers22 ⋅ 322 ⋅ 322 ⋅ 3 ⋅ 523 ⋅ 3 ⋅ 523 ⋅ 32 ⋅ 523 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 724 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 724 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 1124 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13Décomposition en produit de primorielles262 ⋅ 62 ⋅ 3022 ⋅ 302 ⋅ 6 ⋅ 302 ⋅ 6 ⋅ 21022 ⋅ 6 ⋅ 21022 ⋅ 6 ⋅ 231022 ⋅ 6 ⋅ 30030 On remarque que les 15 premiers nombres hautement composés supérieurs c'est-à-dire 2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200 et 6983776800 sont aussi les 15 premiers nombres colossalement abondants.
Propriétés
Tout nombre hautement composé supérieur est aussi un nombre hautement composé, la réciproque n'étant pas vraie.
Bases hautement composées supérieures Les premiers nombres hautement composés supérieurs ont souvent été utilisés comme base de système de numération, du fait de leur important nombre de diviseurs par rapport à leur taille. On peut citer : le système binaire : base 2 le système sénaire : base 6 le système duodécimal : base 12 le système sexagésimal : base 60 En outre 360 est le nombre de degrés dans un tour complet.
Notes et références
Bibliographie Chapitre IV : «Superior Highly Composite Numbers», p. 389 et suivantes dans : Réimp. dans Collected Papers (Ed. G. H. Hardy et al.), New York: Chelsea, pp. 78–129, 1962
Voir aussi
Articles connexes Table des diviseurs
Liens externes
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