Interprétations de la probabilité

L’interprétation de la probabilité est un sujet fondamental en mathématique et de la philosophie qui cherche à comprendre ce que mesure réellement la probabilité : s’agit-il d’une indication de la tendance physique qu’un événement se produise, ou représente-t-elle plutôt une mesure de notre conviction dans la possibilité de son occurrence, ou les deux ? Ces questions ont conduit à l’émergence de deux principales écoles de pensée dans le domaine de la théorie des probabilités.

On identifie généralement ces interprétations comme les probabilités de « preuve » et de « physique ». Les probabilités physiques, ou probabilités objectives, souvent appelées probabilités de fréquence, sont liées à des systèmes aléatoires naturels comme les jeux de roulette, les dés ou les processus de désintégration des atomes radioactifs. Dans de tels systèmes, un type donné d'événement (comme un dé qui donne un six) tend à se produire à un taux persistant, ou à une « fréquence relative », d'un nombre d'essais inconnu. Les probabilités physiques expliquent ou sont invoquées pour expliquer ces fréquences stables.

Les approches fréquentistes, proposées par des figures telles que Venn, Reichenbach, et von Mises, ainsi que les théories de la propension de penseurs tels que Popper, Miller, Giere et Fetzer, dominent les discussions sur les probabilités physiques.

La probabilité bayésienne, qui se base sur les informations disponibles ou les preuves, permet d’attribuer une probabilité à toute affirmation, même en l’absence de processus aléatoire, pour évaluer sa plausibilité. Ces probabilités, souvent perçues comme des degrés de croyance, sont généralement envisagées à l’image d’un pari mesuré contre des cotes définies.

Certaines interprétations de probabilité sont associées à des approches de l'inférence statistique, y compris les théories de l'estimation et les tests d'hypothèses. L'interprétation physique, par exemple, est adoptée par les utilisateurs de méthodes statistiques « fréquentistes », tels que Ronald Fisher, Jerzy Neyman et Egon Pearson. Les statisticiens de l'école bayésienne adverse acceptent généralement l'existence et l'importance des probabilités physiques, mais considèrent également que le calcul des probabilités de preuve est à la fois valide et nécessaire dans les statistiques. Cet article, cependant, se concentre sur les interprétations de la probabilité plutôt que les théories de l'inférence statistique.

Philosophie La philosophie de la probabilité pose des problèmes surtout en matière d'épistémologie et de l'interface entre les concepts mathématiques et le langage ordinaire. La théorie des probabilités est un champ d'étude établi en mathématiques. Ses origines tiennent des discussions des jeux de hasard entre Blaise Pascal et Pierre de Fermat au Fermat and Pascal on Probability (@ socsci.uci.edu), et a été formalisé et rendu axiomatique comme une branche distincte des mathématiques par Andrey Kolmogorov au . Dans sa forme axiomatique, les énoncés mathématiques au sujet de la théorie des probabilités portent le même genre de dureté épistémologique partagée par d'autres énoncés mathématiques dans la philosophie des mathématiquesLaszlo E. Szabo, A Physicalist Interpretation of Probability (Talk presented on the Philosophy of Science Seminar, Eötvös, Budapest, 8 October 2001.Laszlo E. Szabo, Objective probability-like things with and without objective indeterminism, Studies in History and Philosophy of Modern Physics 38 (2007) 626–634 (Preprint).

L'analyse mathématique est née dans les observations du comportement des jeux tels que des cartes et des dés à jouer, qui sont conçus spécifiquement pour introduire des éléments aléatoirement égalisés; en termes mathématiques, ils sont des sujets d'indifférence. Ce n'est pas le seul moyen probabiliste utilisé dans le langage humain ordinaire: par exemple, quand les gens disent que « il va probablement la pleuvoir », ils ne sont généralement pas en train de dire que le résultat de la pluie par rapport à la non-pluie est un facteur aléatoire que les chances favorisent actuellement; à la place, de telles déclarations sont peut-être mieux compris comme qualifiant leur espérance de pluie avec un degré de confiance donné.

Thomas Bayes a tenté de fournir une logique qui pourrait gérer les degrés de confiance différents ; en tant que telle, la probabilité bayésienne est une tentative de refonte de la représentation des états probabilistes comme une expression du degré de confiance par lequel les croyances qu'ils expriment sont détenus.

Rôle de la probabilité

Probabilité logique, épistémique, et inductive Le terme « probabilité » est parfois utilisé dans des contextes où il n'a rien à voir avec le hasard physique. Prenons, par exemple, l'affirmation selon laquelle l'extinction des dinosaures a été probablement causée par une grosse météorite frappant la terre. Des déclarations telles que « L'hypothèse H est probablement vraie » ont été interprétées comme signifiant que des preuves empiriques (E, par exemple) soutient H à un degré élevé. Ce degré de soutien de H par E a été appelé la probabilité logique de H donnée E, ou la probabilité épistémique de H donnée E, ou la probabilité inductive de H donnée E.

Les différences entre ces interprétations sont plutôt petites, et peuvent sembler sans conséquence. L'un des principaux points de désaccord réside dans la relation entre la probabilité et la croyance. Les probabilités logiques sont conçues (par exemple dans le de Keynes sur la probabilité) d'être des relations objectives logiques entre les propositions (ou phrases), et donc de ne pas dépendre de quelque façon de la croyance. Ce sont les degrés de conséquence logique, et non pas des degrés de croyance. Frank P. Ramsey, d'autre part, était sceptique quant à l'existence de telles relations logiques objectives, et a soutenu que la probabilité est « la logique de la croyance partielle ». En d'autres termes, Ramsey a estimé que les probabilités épistémiques sont simplement des degrés de croyance rationnelle, plutôt que d'être des relations logiques qui limitent simplement les degrés de croyance.

Un autre point de désaccord concerne l'unicité de la probabilité de preuve, par rapport à un état donné de connaissance. Rudolf Carnap soutient, par exemple, que les principes logiques déterminent toujours une probabilité logique unique pour toute déclaration, par rapport à tout organisme de preuve. Ramsey, au contraire, pensait que si les degrés de croyance sont soumis à certaines contraintes rationnelles (comme les axiomes de probabilité, mais sans s'y limiter) ces contraintes habituellement ne déterminent pas une valeur unique. Les personnes rationnelles, autrement dit, peuvent différer quelque peu dans leurs degrés de croyance, même si elles possèdent toutes les mêmes informations.

Prédiction Une alternative de la probabilité souligne le rôle de la prédiction - prédire les observations futures sur la base des observations passées, et non sur des paramètres inobservables. Ce fut la principale fonction de la probabilité avant le siècle, mais qui est tombé en disgrâce par rapport à l'approche paramétrique, qui a modelé les phénomènes comme un système physique qui a été observé avec l'erreur, comme dans la mécanique céleste. L'approche prédictive moderne a été lancée par Bruno de Finetti, avec l'idée centrale de l'interchangeabilité tel que les observations futures devraient se comporter comme des observations passées. Ce point de vue est venu à l'attention du monde anglophone avec la traduction du livre de de Finetti en 1974, et a depuis été proposée par les statisticiens comme Seymour Geisser.

Probabilité axiomatique Les mathématiques de probabilité peuvent être développés sur une base entièrement axiomatique qui est indépendante de toute interprétation: voir les articles sur la théorie des probabilités et des axiomes des probabilités pour un traitement détaillé.

Principales interprétations + Un résumé de quelques interprétations de probabilité. Classique Fréquentiste Bayésianiste Propension Hypothèses Principales Principe d'indifférence Fréquence de l'événement Degré de croyanceDegré de lien de causalitéBase conceptuelleSymétrie hypothétique Les données antérieures et de la classe de référence La connaissance et l'intuition L'état actuel du système Approche conceptuelle Conjecturale Empirique Subjective MétaphysiqueCas unique possibleOui Non OuiOui PrécisOui Non NonOui Problèmes Ambiguïté principe d'indifférence Problème de la classe de référence opinion non-vérifiéenotion contestée

Définition classique

La première tentative de rigueur mathématique dans le domaine des probabilités, défendue par Pierre-Simon Laplace, est maintenant connu comme la définition classique. Développé à partir d'études sur les jeux de hasard (comme rouler les dés), il indique que la probabilité est équipartie entre tous les résultats possibles, à condition que ces résultats peuvent être considérés comme tous aussi probableVoir qui fournit une taxonomie plus précise et détaillée des interprétations des probabilités.. droite|vignette|180x180px|La définition classique de la probabilité fonctionne bien pour les situations avec seulement un nombre fini de résultats ayant des probabilités équiréparties. Ceci peut être représenté mathématiquement comme suit : si une expérience aléatoire peut conduire à N résultats mutuellement exclusifs et équiprobables et si de ces résultats donnent lieu à la survenance de l'événement A, la probabilité de A est définie par : . Il y a deux limites claires à la définition classique. Tout d'abord, il est applicable uniquement aux situations dans lesquelles il n'y a qu'un nombre «fini» de résultats possibles. Mais certaines expériences aléatoires importantes, telles que jeter une pièce de monnaie, donnent lieu à un ensemble infini de résultats. Et deuxièmement, vous devez déterminer à l'avance que tous les résultats possibles sont également probables.

Fréquentisme

gauche|vignette|200x200px|Pour les fréquentistes, la probabilité de la balle à atterrir dans une case peut être déterminée que par de nombreux essais dans lesquels le résultat observé converge vers la probabilité sous-jacente sur le long terme. Les fréquentistes postulent que la probabilité d'un événement est sa fréquence relative au fil du temps. Ceci est également connu comme la probabilité . Les événements sont supposés être régis par des phénomènes physiques aléatoires, qui sont soit des phénomènes prévisibles, en principe, sont des informations suffisantes (voir Déterminisme); ou des phénomènes qui sont essentiellement imprévisibles. Des exemples du premier type comprennent les lancer des dés ou de faire tourner une roulette russe; un exemple de la seconde espèce est la désintégration radioactive. Dans le cas de jeter une pièce de monnaie, les fréquentistes disent que la probabilité d'obtenir une tête est de 1/2, non pas parce qu'il y a deux résultats également probables, mais parce que les séries répétées d'un grand nombre d'essais démontrent que la fréquence empirique converge vers la limite 1/2 comme le nombre d'essais tend vers l'infini.

Si on note le nombre d'occurrences d'un événement  dans  essais, alors si  nous pouvons dire que