Un nombre strictement non palindrome est un entier n qui n'est un palindrome dans aucune base b avec 2 ≤ b ≤ n − 2. Les premiers sont : 0, 1, 2, 3, 4, 6, 11, 19, 47, 53, 79, 103, 137, 139, 149, 163, 167, 179, 223, 263, 269, 283, 293, …
Définition Pour vérifier qu'un nombre n est strictement non palindrome, il suffit de vérifier qu'il n'est pas un palindrome dans toutes les bases b à partir de 2 jusqu'à n-2. La limite supérieure s'explique ainsi : tout nombre n ≥ 2 s'écrit 11 en base n − 1, donc n est toujours un palindrome en base n − 1 ; tout nombre n ≥ 2 s'écrit 10 en base n, donc n n'est jamais un palindrome en base n ; tout nombre n ≥ 1 a un seul chiffre en base b > n, donc n est toujours un palindrome dans ces bases.
Exemples
Le nombre 6 Il s'écrit 110 en base 2, 20 en base 3 et 12 en base 4. Aucun de ces nombres n'est un palindrome donc 6 est strictement non palindrome.
Le nombre 167 base :2345678910111213141516171819202122232425...162163164165167 s'écrit :10100111200122213113243532624720516714211BCBBDB2A79E958F877K7D766N6H...15141312 Quelle que soit la base b vérifiant la condition 2 ≤ b ≤ 165, 167 ne s'écrit pas sous la forme d'un palindrome : c'est un nombre strictement non palindrome.
Propriétés Tout nombre strictement non palindrome supérieur à 6 est premier. Pour montrer qu'un nombre composé n > 6 ne peut pas être strictement non palindrome, il faut que pour tout n > 6 il existe une base b dans laquelle n est un palindrome. Si n est pair, n s'écrit 22 (un palindrome) dans la base b = n/2 − 1 (puisque n>6 alors n/2 − 1 > 2). Quand n est impair, on écrit n = p · m où p est le plus petit facteur premier de n. Puisque n est un nombre composé alors p ≤ m. Si p = m = 3, alors n = 9 s'écrit 1001 (un palindrome) en base b = 2. Si p = m > 3, alors n s'écrit 121 (un palindrome) en base b = p − 1. (puisque p > 3, alors p − 1 > 2) Si p < m − 1, alors n s'écrit pp (un nombre à deux chiffres identiques donc un palindrome) en base b = m − 1. Remarque : le cas p = m − 1 n'existe pas car p et m sont impairs.
On peut aisément vérifier que dans chaque cas la base est dans l'intervalle 2 ≤ b ≤ n − 2 et que les chiffres ai de chaque palindrome sont dans l'intervalle 0 ≤ ai < b. Comme ces conditions ne sont pas vérifiées si n ≤ 6, les nombres 1, 4 et 6 sont strictement non palindromes bien qu'ils ne soient pas premiers.
Références
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Catégorie:Propriété décimale Catégorie:Nombre palindrome