Soient E et F des espaces mesurables munis de leurs tribus respectives ℰ et ℱ.
Une fonction : E → F est dite (ℰ, ℱ)-mesurable si la tribu image réciproque par de la tribu ℱ est incluse dans ℰ, c'est-à-dire si :
L'identité, la composée de deux fonctions mesurables, sont mesurables. Les fonctions mesurables fournissent donc à la classe des espaces mesurables une structure de catégorie.
Applications à valeurs réelles
Si F est l'ensemble des réels et si ℱ est sa tribu borélienne, on dira simplement que est une fonction mesurable sur (E, ℰ).
La tribu borélienne sur ℝ étant engendrée (par exemple) par l'ensemble des demi-droites de la forme , le lemme de transport assure que est mesurable sur (E, ℰ) si et seulement si l'image réciproque par de chacune de ces demi-droites est dans ℰ. Par exemple : toute fonction réelle d'une variable réelle qui est monotone est borélienne.
Pour les fonctions à valeurs dans la droite achevée = ℝ ∪ , un résultat analogue se vérifie avec les intervalles .
Propriétés de passage à la limite
Soient E un espace mesurable et une suite de fonctions mesurables de E dans ℝ (ou même dans ). Alors la fonction définie par (à valeurs dans ) est mesurable. En effet, l'image réciproque par de peut s'écrire
et cet ensemble est une réunion dénombrable d'éléments de ℰ, donc un ensemble mesurable.
Par passage aux opposés, on en déduit que, si les fonctions de E dans sont toutes mesurables, alors la fonction l'est également.
On peut alors montrer que les fonctions limites inférieure et supérieure et sont, elles aussi, mesurables.
En particulier : les quatre dérivées de Dini d'une fonction mesurable de ℝ dans ℝ sont elles-mêmes mesurables ; toute limite simple de fonctions mesurables est mesurable (ce qui d'ailleurs se démontre directement et plus généralement pour des fonctions à valeurs dans un espace métrique – mais pas à valeurs dans un espace topologique quelconque.) ; toute fonction dérivée est mesurable.
Approximation par des fonctions continues Si (E, ℰ) est un espace métrisable séparable muni de sa tribu borélienne, toute fonction mesurable sur E (à valeurs réelles) et bornée est limite monotone de fonctions bornées continues..
Fonctions Lebesgue-mesurables Une fonction f : ℝ → ℝ est dite Lebesgue-mesurable si elle est (ℒ, ℬ)-mesurable, où ℒ et ℬ désignent respectivement la tribu de Lebesgue et la tribu borélienne sur ℝ. Si f est continue alors elle est borélienne ( (ℬ, ℬ)-mesurable) et a fortiori Lebesgue-mesurable mais (en supposant l'axiome du choix) elle n'est pas nécessairement (ℒ, ℒ)-mesurable. Pour construire un contre-exemple, on peut utiliser l'escalier de Cantor...
Si f est borélienne et bijective et si sa bijection réciproque a la propriété N de Luzin, alors f est (ℒ, ℒ)-mesurable.
Notes et références
Articles connexes Théorème de la limite simple de Baire
Catégorie:Théorie de la mesure Catégorie:Théorie des probabilités Mesurable