En mathématiques, la formule de Rodrigues (anciennement appelée formule de Ivory-Jacobi) est une formule impliquant les polynômes de Legendre, indépendamment découverte par Olinde Rodrigues (thèse de la Faculté de sciences de Paris)., James Ivory. et Charles Gustave Jacob Jacobi.. Le nom « formule de Rodrigues » a été introduit par Eduard Heine en 1878, après que Hermite eut souligné, dès 1865, que Rodrigues a été le premier à la découvrir. Le terme est également utilisé pour décrire des formules similaires pour d'autres suites de polynômes orthogonaux. Richard Askey. décrit l'histoire de la formule de Rodrigues en détail.
Énoncé
Soient une suite de polynômes orthogonaux sur l'intervalle pour une fonction poids , dont on suppose qu'elle est échelonnée , et donc tels que
où les constantes non nulles ne dépendent que de , et désigne le delta de Kronecker. Une des bornes de l'intervalle , voire les deux, peut être infini.
On peut également établir la formule par la théorie de Sturm-Liouville. On définit l'opérateur , alors l'équation différentielle devient équivalente à . On définit l'espace fonctionnel comme l'espace de Hilbert de fonctions sur , tel que . Alors l'opérateur est auto-adjoint sur des fonctions satisfaisant certaines conditions aux limites, ce qui permet d'appliquer le théorème spectral.
Exemples La formule de Rodrigues s'écrit : pour les polynômes de Legendre:
pour les polynômes de Laguerre:
pour les polynômes d'Hermite:
pour les polynômes de Jacobi :
Il existe des formules similaires valables pour beaucoup d'autres suites de fonctions orthogonales issues des équations de Sturm-Liouville ; elles ont aussi pour nom formule de Rodrigues, en particulier lorsque ces fonctions sont polynomiales.
Références
Catégorie:Polynômes orthogonaux