En mathématiques, le théorème bipolaire est un théorème d'analyse convexe qui fournit les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un cône soit égal à son cône bipolaire. Le théorème bipolaire peut être vu comme un cas particulier du théorème de Fenchel-Moreau..
Énoncé du théorème Pour tout ensemble non vide d'un espace vectoriel , le cône bipolaire est donné par
où désigne l'enveloppe convexe.
Cas particulier est un cône convexe non vide et fermé si et seulement si , où , et désigne le cône dual positif..
Plus généralement, si est un cône convexe non vide alors le cône bipolaire est donné par
Lien avec le théorème de Fenchel-Moreau Si est la fonction indicatrice d'un cône . Alors la fonction convexe conjuguée est la fonction d'appui de , et . Donc si et seulement si .
Le théorème de Fenchel-Moreau peut être vu comme une généralisation du théorème bipolaire.
Références
Catégorie:Analyse convexe Bipolaire