Le lemme de Céa —du nom de Jean Céa— est un lemme mathématique. Il permet de montrer des estimations d'erreurs pour la méthode des éléments finis appliquée aux équations aux dérivées partielles elliptiques.
Énoncé Soit un espace de Hilbert réel muni de la norme Soit une forme bilinéaire telle que :
pour une constante et pour tout dans (continuité) pour une constante et tout dans (coercivité ou -ellipticité).
Soit une forme linéaire continue.
Cherchons un élément dans tel que
pour tout dans
Considérons le même problème dans le sous-espace de dimension finie de tel que, vérifie
pour tout dans
Le Théorème de Lax-Milgram garantit l'existence et l'unicité d'une solution pour chacun de ces deux problèmes. Le lemme de Céa est l'inégalité suivante
pour tout dans Autrement dit est « la meilleure » approximation de dans à une constante multiplicative près.
La preuve est immédiate pour tout dans Nous avons utilisé la -orthogonalité de et
qui découle directement de pour tout dans .
Note : Le lemme de Céa est aussi valable dans les espaces de Hilbert complexes, on considère une forme sesquilinéaire au lieu d'une forme bilinéaire. L'hypothèse de coercivité devient pour tout dans (Notez le module autour de ).
Références
Bibliographie
(Article original de J. Céa)
Catégorie:Équations différentielles numériques Catégorie:Espace de Hilbert