En arithmétique, le théorème d'Euclide sur les nombres premiers affirme qu'il existe une infinité de nombres premiers.
Ce résultat est énoncé et démontré dans les Éléments d'Euclide, c'est la proposition 20 du livre IX. Il y prend cependant une forme différente : « les nombres premiers sont plus nombreux que n'importe quelle multitude de nombres premiers proposée »Traduction inspirée de D. Joyce, Livre IX, proposition 20., plus compatible avec la conception de l'infini de l'auteur.
D'autres preuves ont ensuite été proposées, notamment par Euler. Des résultats plus fins ont aussi été démontrés comme le théorème des nombres premiers sur la distribution asymptotique des nombres premiers.
Démonstration d'Euclide
Dans ses Éléments, Euclide démontre que de l'existence de trois nombres premiers distincts peut se déduire l'existence d'un quatrième. La démonstration se généralise immédiatement à toute énumération finie de nombres premiers. Il déduit que , vol. 2, p. 444-446. . L'infini mis en évidence par cette preuve est donc un « infini potentiel », compatible avec la doctrine aristotélicienne. Cette démonstration directe n'est pas une démonstration par l'absurde, contrairement à ce qui a été souvent affirméCeci est étudié en détail dans , et résulte d'une confusion avec une autre preuve procédant par l'absurde : on suppose qu'il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers, soient p1, …, pn, et l'on aboutit à une contradiction par le même argument qu'Euclide, mais cette démonstration indirecte n'est pas dans Euclide..
Actualisée, sa démonstration se présente comme suit : soit une liste finie de nombres premiers distincts. Si désigne leur produit, les nombres premiers déjà énumérés ne peuvent pas diviser ; or un tel nombre entier possède un diviseur premier, qui ne fait donc pas partie de la liste donnée.
Le fait que tout nombre entier possède un diviseur premier est énoncé par Euclide à la proposition 31 du livre VII des Éléments et il le démontre par descente infinie , vol. 2, p 339-341, ou D. Joyce livre VII proposition 31.. On peut aussi le démontrer ainsi : le plus petit diviseur strictement supérieur à 1 de l'entier est nécessairement premier, car tout diviseur de est un diviseur de , donc est égal à 1 ou Cette variante est également présente dans certains textes des Éléments , vol. 2 p. 341.Le résultat peut être utilisé pour une démonstration par récurrence de l'existence d'une décomposition en facteurs premiers, voir « Théorème fondamental de l'arithmétique »..
Applications de la technique utilisée par Euclide dans sa démonstration
Suite d'Euclide-Mullin
L'argumentation utilisée par Euclide permet de construire par récurrence une suite injective de nombres premiers dite suite d'Euclide-Mullin : on pose et est défini comme le plus petit facteur premier de .
Mullin s'est demandé si la suite ainsi obtenue parcourait tous les nombres premiers.. En 2017, on ignore la réponse à cette questionShanks a conjecturé que la réponse était positive. D. Shanks, « Euclid's primes », Bull. Inst. Combin. Appl., vol. 1, 1991, .. En revanche, si l'on prend pour le plus grand facteur premier de , alors on sait qu'une infinité de nombres premiers ne font pas partie de la suite A. Booker, On Mullin's second sequence of primes, Integers 12A (2012)..
Cas particuliers du théorème de la progression arithmétique
Sur le modèle de la démonstration d'Euclide, on peut démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme et aussi de la forme .
Dans le premier cas, on considère une liste de premiers de la forme et on montre que possède un diviseur premier de la forme , différent des précédents.
Dans le deuxième cas, on considère de la même façon le nombre .
Le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet généralise ces résultats : il affirme qu'il y a une infinité de nombres premiers de la forme , où et sont des entiers fixés, premiers entre eux. Autrement dit, il existe une infinité de nombres premiers dans toute progression arithmétique de cette forme. La démonstration complète, qui s'inspire de celle d'Euler pour le théorème d'Euclide (voir ci-dessous), repose sur des arguments avancés d'analyse.
Application à une minoration de la fonction de compte des nombres premiers De fait, comme le remarque Gérald Tenenbaum, la preuve d'Euclide : la construction permet de montrer que le n-ième nombre premier est inférieur ou égal à .
En effet, d'après le raisonnement d'Euclide, .
Si l'on suppose que pour , alors , ce qui montre la propriété par récurrence.
On en déduit que la fonction de compte des nombres premiers vérifie pour
Si , .
Variante Une variante de la démonstration d'Euclide a été donnée par le mathématicien allemand Ernst Kummer en retranchant 1 au produit au lieu d'ajouter 1.. Démonstration d'Euler
Une autre preuve fut proposée par le mathématicien suisse Leonhard Euler. Si désigne l'ensemble des nombres premiers, Euler écrit : . Ces trois expressions représentent donc le même élément de . La première égalité est donnée par la somme d'une série géométrique. Pour montrer la seconde égalité, il faut distribuer le produit par rapport à la somme. Dans le résultat obtenu, tous les produits (finis) possibles de nombres premiers apparaissent une fois ; d'après le théorème fondamental de l'arithmétique, ces produits sont tous les entiers supérieurs ou égaux à :
.
La divergence de la série harmonique montre alors que la somme (à droite) est égale à , donc le produit (à gauche) ne peut être fini. Il y a donc une infinité de nombres premiers.
Théorème des nombres premiers
Ce théorème, conjecturé au début du et prouvé en 1896, simultanément et indépendamment par Jacques Hadamard et Charles-Jean de La Vallée Poussin, précise la répartition des nombres premiers. Le théorème d'Euclide dit que la suite strictement croissante des nombres premiers est infinie. Le théorème des nombres premiers précise que est équivalent à .
La démonstration originelle fait appel à des notions délicates d'analyse complexe, en particulier sur la fonction zêta de Riemann. Il existe aussi maintenant des démonstrations plus élémentaires. Des variantes, précisant en particulier le théorème de la progression arithmétique, sont aussi connues.
Dans d'autres anneaux Tout nombre premier est un élément irréductible de l'anneau ℤ des entiers relatifs, c'est-à-dire qu'il n'est ni inversible (les seuls entiers inversibles sont 1 et –1), ni produit de deux entiers non inversibles. Les opposés des nombres premiers sont également irréductibles mais du point de vue de la divisibilité, on ne se préoccupe des nombres qu'à association près, c'est-à-dire à produit près par un inversible.
La démonstration d'Euclide repose essentiellement sur deux propriétés très simples de ℤ : c'est un anneau semi-primitif, c'est-à-dire que pour tout entier non nul n, il existe un entier k tel que 1 + kn ne soit pas inversible (par exemple k = |n|/n) ; c'est un anneau de Furstenberg, c'est-à-dire que tout entier S non nul et non inversible possède un diviseur irréductible (puisque |S| > 1). Elle utilise aussi l'existence d'un entier N non nul et non inversible, c'est-à-dire le fait que l'anneau ℤ n'est pas un corps.
Le même raisonnement permet de démontrer que
Ce théorème s'applique par exemple. à l'anneau ℝ[X] des polynômes à coefficients réels ou à l'anneau ℤ[] des entiers de Gauss, mais aussi à certains anneaux non euclidiens comme ℤ[], voire non principaux comme ℤ[X] ou ou même non factoriels comme l'anneau ℝ[] des polynômes trigonométriques ou l'anneau ℂ[T, T] des fonctions régulières sur la cubique cuspidale d'équation y = x (il n'est même pas intégralement clos ni semi-factoriel).
Dans cette démonstration d'Euclide, les trois hypothèses sont utiles : il faut avant tout que l'anneau ne soit pas un corps, car dans un corps il n'y a pas d'élément irréductible ; jointe à l'hypothèse précédente, l'hypothèse supplémentaire « de Fürstenberg » garantit l'existence d'irréductibles. Elle est indispensable car certains anneaux qui ne sont pas des corps n'ont pourtant pas d'irréductibles.. C'est le cas de l'anneau des entiers algébriques., qui est par ailleurs semi-primitif ; la semi-primitivité est aussi primordiale, car il existe des anneaux atomiques (donc de Furstenberg) qui n'ont qu'un nombre fini d'irréductibles (à association près)On les appelle les anneaux de Cohen-Kaplansky .. Exemples qui sont même principaux : un corps, un anneau de valuation discrète, ou encore l'anneau (ℤ\⟨2, 3⟩)ℤ des fractions d'entiers dont le dénominateur n'est divisible ni par 2, ni par 3.
Cependant, une autre méthode permet de démontrer qu'un anneau qui n'a qu'un nombre fini d'irréductibles (à association près) est principal dès qu'il est factoriel donc par contraposition,
Ce théorème s'applique par exemple aux anneaux ℤ[X] et ℝ[X, Y] déjà cités mais aussi à des anneaux factoriels (donc atomiques) non semi-primitifs, comme. l'anneau ℚ[X, Y] des fractions rationnelles en X, Y à coefficients rationnels dont le dénominateur est un polynôme à terme constant non nul.
Notes et références
Voir aussi Articles connexes Démonstration de Furstenberg de l'infinitude de l'ensemble des nombres premiers Démonstration utilisant la densité de Schnirelmann Démonstration utilisant les nombres de Fermat Nombre premier primoriel Suite d'Euclide–Mullin Liens externes
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