En mathématiques récréatives, la constante des nombres premiers est le nombre réel , compris entre 0 et 1, dont le -ième chiffre binaire après la virgule est 1 si est premier et 0 si est composé ou égal à 1.
Description De façon plus rigoureuse, le développement binaire de correspond à la fonction caractéristique de l'ensemble des nombres premiers :
Le début du développement décimal de ρ est : Suite de l'OEIS. Le début de son développement binaire est : Suite de l'OEIS.
On démontre par l'absurde que est irrationnel. Pour cela, supposons qu'il est rationnel, c'est-à-dire de développement périodique à partir d'un certain rang, en base b = 10 comme en toute base b entière, en particulier en base deux.
Notons le -ième chiffre de ce développement binaire de . Il existe donc deux entiers et tels que pour tout .
Pour et comme ci-dessus, choisissons un nombre premier . Alors, , ce qui est absurde puisque est composé.
Notes et références
Bibliographie
Catégorie:Nombre premier