Un nombre premier de Higgs est un nombre premier p dont l'indicatrice d'Euler (l'entier φ(p) = p – 1) divise le carré du produit des nombres premiers de Higgs plus petits. Plus généralement, étant donné un exposant a, le n-ième premier de Higgs est le plus petit nombre premier Hpn tel que
Pour les carrés (a = 2), les premiers nombres premiers de Higgs sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31 (). Ainsi, par exemple, 13 est un premier Higgs parce que le carré du produit des nombres premiers de Higgs plus petits est , dont le quotient par 12 est entier (égal à ). Mais 17 n'est pas un premier de Higgs car le carré du produit des nombres premiers de Higgs plus petits est , dont le reste dans la division euclidienne par 16 est non nul (égal à 4).
Pour les premiers nombres premiers de Higgs pour les exposants 2 à 7, il est plus compact de présenter les nombres premiers qui ne sont pas de Higgs : Exposant de Higgs Nombres premiers inférieurs au de Higgs et qui ne sont pas de Higgs 282717, 41, 73, 83, 89, 97, 103, 109, 113, 137, 163, 167, 179, 193, 227, 233, 239, 241, 251, 257, 271, 281, 293, 307, 313, 337, 353, 359, 379, 389, 401, 409, 433, 439, 443, 449, 457, 467, 479, 487, 499, 503, 521, 541, 563, 569, 577, 587, 593, 601, 613, 617, 619, 641, 647, 653, 673, 719, 739, 751, 757, 761, 769, 773, 809, 811, 821, 823352117, 97, 103, 113, 137, 163, 193, 227, 239, 241, 257, 307, 337, 353, 389, 401, 409, 433, 443, 449, 479, 487441997, 193, 257, 353, 3895397193, 25763892577389257
Une observation révèle en outre qu'un premier de Fermat ne peut pas être un premier de Higgs pour l'exposant a si a est plus petit que 2n.
On ne sait pas s'il y a une infinité de nombres premiers de Higgs pour tout exposant a strictement plus grand que 1. La situation est tout à fait autre pour a = 1. Il y en a quatre : 2, 3, 7 et 43 (une suite étrangement similaire à la suite de Sylvester). ont constaté qu'environ un cinquième des nombres premiers en dessous d'un million sont des premiers de Higgs.
Références
, M0660
Catégorie:Suite d'entiers Catégorie:Nombre premier