En arithmétique, une paire de Wieferich est une paire de nombres premiers q < p telle que q ≡ 1 (mod p). Elle est dite doublement de Wieferich. si de plus p ≡ 1 (mod q). Cette notion est liée à la conjecture de Catalan, démontrée en 2002 par Preda Mihăilescu.
Paires de Wieferich connues La plupart des sources, même récentes ( éd., réactualisée)., affirment qu'on ne connait actuellement que six paires doublement de Wieferich : et oubliant une septième. : (5, 188 748 146 801) (suites , et de l'OEIS).
Triplet de Wieferich Un triplet de Wieferich est un triplet de nombres premiers p, q et r qui satisfont pq–1 ≡ 1 (mod q2), qr–1 ≡ 1 (mod r2), et rp–1 ≡ 1 (mod p2). Il y a 13 triplets de Wieferich connus : (2, 1093, 5), (2, 3511, 73), (3, 11, 71), (5, 20771, 18043), (5, 53471161, 193), (5, 6692367337, 1601), (5, 6692367337, 1699), (5, 188748146801, 8807), (13, 863, 23), (17, 478225523351, 2311), (41, 138200401, 2953), (83, 13691, 821) et (1657, 2281, 1667) (suites , et de l'OEIS).
n-uplet de Wieferich Un n-uplet de Wieferich est une généralisation des paires et triplets de Wieferich. C'est un n-uplet (p1, p2, p3, ..., pn) de nombres premiers tel que p1p2–1 ≡ 1 (mod p22), p2p3–1 ≡ 1 (mod p32), p3p4–1 ≡ 1 (mod p42), ..., pn−1pn–1 ≡ 1 (mod pn2), pnp1–1 ≡ 1 (mod p12).
Par exemple, (5, 188748146801, 453029, 53, 97, 76704103313, 4794006457, 12197, 3049, 41) est un 10-uplet de Wieferich.
Pour le plus petit n-uplet de Wieferich (en fonction de n), voir .
Cela ne correspond pas à la définition des donnée dans ..
Suite de Wieferich La suite de Wieferich (a) associée à un entier k > 1 est définie par a = k et a = le plus petit nombre premier p tel que ap–1 = 1 (mod p) mais a≠ ±1 (mod p). On conjecture que la suite de Wieferich de tout entier k > 1 est périodique. Par exemple, la suite de Wieferich pour 2 : 2, 1093, 5, 20771, 18043, 5, 20771, 18043, 5, ..., on obtient un cycle : {5, 20771, 18043} (un triplet de Wieferich). La suite de Wieferich pour 83 : 83, 4871, 83, 4871, 83, 4871, 83, ..., on obtient un cycle : {83, 4871} (une paire de Wieferich).
Notes et références
Voir aussi Articles connexes Nombre premier de Wieferich Bibliographie
Catégorie:Nombre premier Catégorie:Suite d'entiers Catégorie:Liste de nombres