En théorie des nombres récréative, un nombre premier minimal pour une base donnée est un nombre premier pour lequel il n'existe pas de sous-suite plus courte de ses chiffres dans cette base qui forme un nombre premier. En base dix, il y a exactement 26 nombres premiers minimaux : 2, 3, 5, 7, 11, 19, 41, 61, 89, 409, 449, 499, 881, 991, 6469, 6949, 9001, 9049, 9649, 9949, 60649, 666649, 946669, 60000049, 66000049, 66600049 . Par exemple, 409 est un premier minimal, car il n'y a pas de nombre premier parmi ses sous-suites que sont : 4, 0, 9, 40, 49, 09. La sous-suite n'a pas à être constituée de chiffres consécutifs, de sorte que 109 n'est pas un premier minimal, parce que 19 est premier.
Similairement, il y a exactement 32 nombres composés qui n'ont pas de sous-suite composée plus courte : 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 20, 21, 22, 25, 27, 30, 32, 33, 35, 50, 51, 52, 55, 57, 70, 72, 75, 77, 111, 117, 171, 371, 711, 713, 731 . Il y a 146 nombres premiers congrus à 1 mod 4 qui n'ont pas de sous-suite plus courte congrue à 1 mod 4 : 5, 13, 17, 29, 37, 41, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 149, 181, 233, 277, 281, 349, 409, 433, 449, 677, 701, 709, 769, 821, 877, 881, 1669, 2221, 3001, 3121, 3169, 3221, 3301, 3833, 4969, 4993, 6469, 6833, 6949, 7121, 7477, 7949, 9001, 9049, 9221, 9649, 9833, 9901, 9949, ...
Autres bases Les premiers minimaux peuvent être généralisés à d'autres bases. On peut montrer qu'il n'y a qu'un nombre fini de nombres premiers minimaux dans chaque base. bpremiers minimaux en base b (écrit en base b, les lettres A, B, C, ... représentent les valeurs 10, 11, 12, ...)nombre de premiers minimaux en base b1111210, 11232, 10, 111342, 3, 11352, 3, 10, 111, 401, 414, 14444, 44441862, 3, 5, 11, 4401, 4441, 40041772, 3, 5, 10, 14, 16, 41, 61, 11111982, 3, 5, 7, 111, 141, 161, 401, 661, 4611, 6101, 6441, 60411, 444641, 4444444411592, 3, 5, 7, 14, 18, 41, 81, 601, 661, 1011, 110112102, 3, 5, 7, 11, 19, 41, 61, 89, 409, 449, 499, 881, 991, 6469, 6949, 9001, 9049, 9649, 9949, 60649, 666649, 946669, 60000049, 66000049, 6660004926112, 3, 5, 7, 10, 16, 18, 49, 61, 81, 89, 94, 98, 9A, 199, 1AA, 414, 919, A1A, AA1, 11A9, 66A9, A119, A911, AAA9, 11144, 11191, 1141A, 114A1, 1411A, 144A4, 14A11, 1A114, 1A411, 4041A, 40441, 404A1, 4111A, 411A1, 44401, 444A1, 44A01, 6A609, 6A669, 6A696, 6A906, 6A966, 90901, 99111, A0111, A0669, A0966, A0999, A0A09, A4401, A6096, A6966, A6999, A9091, A9699, A9969, 401A11, 404001, 404111, 440A41, 4A0401, 4A4041, 60A069, 6A0096, 6A0A96, 6A9099, 6A9909, 909991, 999901, A00009, A60609, A66069, A66906, A69006, A90099, A90996, A96006, A96666, 111114A, 1111A14, 1111A41, 1144441, 14A4444, 1A44444, 4000111, 4011111, 41A1111, 4411111, 444441A, 4A11111, 4A40001, 6000A69, 6000A96, 6A00069, 9900991, 9990091, A000696, A000991, A006906, A040041, A141111, A600A69, A906606, A909009, A990009, 40A00041, 60A99999, 99000001, A0004041, A9909006, A9990006, A9990606, A9999966, 40000A401, 44A444441, 900000091, A00990001, A44444111, A66666669, A90000606, A99999006, A99999099, 600000A999, A000144444, A900000066, A0000000001, A0014444444, 40000000A0041, A000000014444, A044444444441, A144444444411, 40000000000401, A0000044444441, A00000000444441, 11111111111111111, 14444444444441111, 44444444444444111, A1444444444444444, A9999999999999996, 1444444444444444444, 4000000000000000A041, A999999999999999999999, A44444444444444444444444441, 40000000000000000000000000041, 440000000000000000000000000001, 999999999999999999999999999999991, 444444444444444444444444444444444444444444441152122, 3, 5, 7, B, 11, 61, 81, 91, 401, A41, 4441, A0A1, AAAA1, 44AAA1, AAA0001, AA00000117 Les nombres premiers minimaux en base douze écrits en base dix sont répertoriés dans .
Quantité de nombres premiers minimaux (probables) en base n sont 1, 2, 3, 3, 8, 7, 9, 15, 12, 26, 152, 17, 228, 240, 100, 483, 1280, 50, 3463, 651, 2601, 1242, 6021, 306, (17608 or 17609), 5664, 17215, 5784, (57296 or 57297), 220, ... Longueur du plus grand premier minimal (probable) en base n sont 2, 2, 3, 2, 5, 5, 5, 9, 4, 8, 45, 8, 32021, 86, 107, 3545, (≥111334), 33, (≥110986), 449, (≥479150), 764, 800874, 100, (≥136967), (≥8773), (≥109006), (≥94538), (≥174240), 1024, ... Premier minimal le plus grand (probable) en base n (écrit en base dix) sont 2, 3, 13, 5, 3121, 5209, 2801, 76695841, 811, 66600049, 29156193474041220857161146715104735751776055777, 388177921, ... (la prochaine valeur a 35670 chiffres) (voir ) Le nombre de composés minimaux en base de n est 1, 3, 4, 9, 10, 19, 18, 26, 28, 32, 32, 46, 43, 52, 54, 60, 60, 95, 77, 87, 90, 94, 97, 137, 117, 111, 115, 131, 123, 207, ... La longueur du plus grand composé minimal en base n est 4, 4, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 2, 3, 3, 4, ...
Références
Chris Caldwell, The Prime Glossary: minimal prime, from the Prime Pages A research of minimal primes in bases 2 to 30 Minimal primes and unsolved families in bases 2 to 30 Minimal primes and unsolved families in bases 28 to 50 J. Shallit, Minimal primes, Journal of Recreational Mathematics, 30:2, pp. 113–117, 1999-2000. PRP records, search by form 8*13^n+183 (primes of the form 8000...000111 in base 13), n=32020 PRP records, search by form (51*21^n-1243)/4 (primes of the form CFFF...FFF0K in base 21), n=479149 PRP records, search by form (106*23^n-7)/11 (primes of the form 9EEE...EEE in base 23), n=800873
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