En mathématiques, une algèbre de De Morgan (nommé d'après Auguste De Morgan, un mathématicien et logicien britannique) est une structure A = (A, ∨, ∧, 0, 1, ¬) tel que: (A, ∨, ∧, 0, 1) est un trellis distributif borné, et ¬ est une involution de De Morgan: ¬(x ∧ y) = ¬x ∨ ¬y et ¬¬x = x. Dans une algèbre de De Morgan, les lois ¬x ∨ x = 1 (Principe du tiers exclu), et ¬x ∧ x = 0 (Principe de non-contradiction) ne tiennent pas toujours. En présence des lois de De Morgan, une algèbre qui les satisfait devient une algèbre booléenne.
Remarque: Il en découle que ¬(x∨y) = ¬x∧¬y, ¬1 = 0 et ¬0 = 1 (par exemple: ¬1 = ¬1∨0 = ¬1∨¬¬0 = ¬(1∧¬0) = ¬¬0 = 0). Ainsi ¬ est un double automorphisme.
Les algèbres de De Morgan ont été introduites par Grigore Moisil autour de 1935. Bien que sans la restriction d'avoir un 0 et un 1.
Les algèbres de De Morgan sont importantes pour l'étude des aspects mathématiques de la logique floue. L'algèbre floue F = ([0, 1], max (x, y), min (x, y), 0, 1, 1 - x) est un exemple d'algèbre de De Morgan où les lois du tiers exclu et de non-contradiction ne tiennent pas.
Un autre exemple est la logique à quatre valeurs de Dunn, dans laquelle faux < ni-vrai-ni-faux < vrai et faux < vrai-et-faux < vrai, alors que ni-vrai-ni-faux et vrai-et-faux ne sont pas comparable.
Algèbre de Kleene Si une algèbre de De Morgan satisfait en outre x ∧ ¬x ≤ y ∨ ¬y, elle est appelée algèbre de Kleene. (Cette notion ne doit pas être confondue avec l'autre algèbre de Kleene généralisant les expressions régulières.)
Des exemples d'algèbres de Kleene dans le sens défini ci-dessus comprennent: les groupes ordonnés, Post-algèbres et algèbres de Łukasiewicz. Les algèbres booléennes répondent également à cette définition d'algèbre de Kleene. L'algèbre de Kleene la plus simple qui ne soit pas booléenne est la logique ternaire K3 de Kleene. K3 a fait sa première apparition dans On notation for ordinal numbers (1938) de Kleenehttps://www.jstor.org/stable/2267778. L'algèbre a été nommée d'après Kleene par Brignole et MonteiroBrignole, D. and Monteiro, A. Caractérisation des algèbres de Nelson par des égalites, Notas de Logica Matematica, Instituto de Matematica Universidad del sur Bahia Blanca 20 (1964) A (possibly abbreviated) version of this paper appeared later in Proc. .
Voir aussi Algèbre d'Heyting Logique algébrique
Références
Lectures supplémentaires
Birkhoff, G. review of Moisil Gr. C.. Recherches sur l’algèbre de la logique. Annales scientifiques de l’Université de Jassy, vol. 22 (1936), . in J. symb. log. 1, (1936) J. A. Kalman Lattices with involution, Trans. Amer. Math. Soc. 87 (1958), 485-491,
Cattaneo, G. & Ciucci, D. Lattices with Interior and Closure Operators and Abstract Approximation Spaces. Lecture Notes in Computer Science 67–116 (2009).
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