En mathématiques, le développement décimal périodique qui s'écrit , que l'on dénote encore par ou ou , représente un nombre réel dont on peut montrer que c'est le nombre . En d'autres termes, les deux notations et sont deux notations différentes pour le même nombre. Les démonstrations mathématiques de cette identité ont été formulées avec des degrés variés de rigueur mathématique, et selon les préférences relatives à la définition des nombres réels, les hypothèses sous-jacentes, le contexte historique et le public visé.
Le fait que certains nombres réels peuvent être représentés par plus d'une chaîne de « décimales » n'est pas limité au système décimal, c'est-à-dire de base dix. Le même phénomène a lieu dans toutes les bases entières, et les mathématiciens ont aussi repéré la manière d'écrire dans des systèmes à base non entière. Ce phénomène n'est d'ailleurs pas spécifique au nombre : tout nombre décimal non nul a une écriture finie et une autre écriture avec une infinité de 9, comme . L'écriture avec un nombre fini de décimales est plus simple, et est presque toujours celle que l'on préfère, ce qui contribue au préjugé que c'est la « seule » représentation. Cependant, l'autre forme, avec une infinité de décimales, est parfois plus utile pour la compréhension du développement décimal de certaines fractions, ou, en base 3, pour caractériser l'ensemble de Cantor. La forme « non unique » doit être prise en compte dans certaines démonstrations du fait que l'ensemble des réels n'est pas dénombrable. Plus généralement, tout système de représentation numérique positionnelle pour les nombres réels contient une infinité de nombres ayant des représentations multiples.
L'égalité est depuis longtemps acceptée par les mathématiciens et enseignée dans les manuels. Ce n'est que dans les dernières décennies que les chercheurs en enseignement des mathématiques ont étudié comment les élèves perçoivent cette égalité. Certains la rejettent, à cause de leur « intuition » que chaque nombre a un développement décimal unique, qu'il doit y avoir des nombres infinitésimaux non nuls, ou bien que le développement finit par se terminer. Ces intuitions sont erronées dans le système des nombres réels, mais il existe d'autres systèmes de nombres qui peuvent en admettre certaines.
Démonstrations algébriques Il existe plusieurs démonstrations élémentaires de l'égalité .
Fractions et divisions posées L'une des raisons de la nécessité des développements décimaux infinis est la représentation décimale des fractions. Poser une division d'entiers telle que donne un développement décimal dans lequel les décimales se répètent sans fin. Cette égalité donne une démonstration rapide de :
Sous une autre forme, on peut multiplier les deux membres de l'égalité par , pour obtenir d'une part et d'autre part . Ces deux nombres sont donc bien égaux.
Manipulation des décimales Quand un nombre en notation décimale est multiplié par , les chiffres ne changent pas, mais le séparateur des unités est décalé d'un cran vers la droite. Ainsi, . La suite demande un tout petit peu d'algèbre. :
Discussion
. Mais ces démonstrations ne mettent pas en lumière les relations fondamentales entre les développements décimaux et les nombres qu'ils représentent, relations qui sont sous-jacentes au sens même à donner à l'égalité entre deux développements décimaux.
William Byers pense qu'un élève qui admet que à cause des démonstrations précédentes, mais qui n'a pas résolu l'ambiguïté de la notation — qui, selon lui, désigne à la fois un processus de sommation et un objet mathématique — ne peut pas comprendre vraiment l'égalité..
Une fois qu'un système de représentation est défini, il peut être utilisé pour justifier les règles d'arithmétique décimale utilisées dans les démonstrations précédentes. De plus, on peut démontrer directement que les expressions et représentent toutes deux le même nombre réel, car cela fait partie de la définition .
Démonstrations analytiques
Puisque l'examen de n'intervient aucunement dans la formalisation des mathématiques, on peut le différer jusqu'à ce que soient établis les théorèmes standards de l'analyse réelle.
Il faut avant tout donner un sens à l'écriture des nombres réels, en notation décimale, sous la forme d'un éventuel signe –, d'une suite finie de chiffres formant l'entier naturel partie entière de la valeur absolue, d'un séparateur décimal, et d'une suite éventuellement infinie de chiffres qui peuvent prendre les valeurs de 0 à 9, formant la partie fractionnaire de cette même valeur absolue. Dans cette notation positionnelle, il est essentiel que, contrairement à la partie entière , la partie fractionnaire ne soit pas limitée à un nombre fini de chiffres.
Pour discuter de , on n'utilise pas l'éventualité d'un signe –, donc on se borne à un développement décimal de la forme .
Séries et suites infinies
La présentation peut-être la plus courante des développements décimaux est de les définir comme des séries infinies. En général :
Pour , on peut appliquer le théorème de convergence des séries géométriques : si , alors :
Comme est une somme de ce genre, avec , le théorème résout rapidement la question :
vignette|upright=1.5|Limites : l'intervalle unité, avec la suite des fractions (en base 4) : convergeant vers .
Cette démonstration (en fait celle de ) apparaît dès 1770 dans les Éléments d'algèbre de Leonhard Euler., mais la sommation d'une série géométrique est elle-même un résultat plus ancien. Une démonstration typique du utilisait une manipulation terme à terme analogue à la manipulation des décimales donnée plus haut ; Bonnycastle, en 1811, utilise ce genre d'argument pour justifier que ; ..
Une réaction du contre ce genre de méthodes cavalières de sommation a abouti à la définition encore dominante aujourd'hui : la somme d'une série est la limite de la suite de ses sommes partielles ; une suite admet une limite si la distance devient arbitrairement petite quand s'accroît. Avec ces définitions, la démonstration du théorème ci-dessus consiste à calculer la distance entre la limite escomptée, , et les sommes partielles de la série géométrique, . On trouve que cette distance est une suite géométrique de raison , donc de limite nulle (puisque )Les diverses démonstrations de cette dernière étape utilisent inévitablement l'une des caractérisations axiomatiques du corps des nombres réels..
Dans le cas particulier de , cette démonstration s'écrit simplement :
Avant cette formalisation, elle était ébauchée en termes plus imagés, mais moins précis. Par exemple, en 1846, Davies explique ; Smith et Harrington, en 1895, écrivent :
Segments emboîtés et bornes supérieures vignette|Segments emboîtés : en base 3,
La représentation ci-dessus par des séries est un moyen simple de définir le nombre réel associé à un développement décimal. Pour s'assurer que cette notation n'abuse pas du signe « = », on a utilisé les propriétés des limites. Mais d'autres constructions utilisent celles de l'ordre.
L'une d'elles s'appuie sur le théorème des segments emboîtés (voir troisième construction), qui dit que pour une suite de segments emboîtés dont les longueurs deviennent arbitrairement petites, l'intersection de ces intervalles contient exactement un point. Le nombre est donc défini comme l'unique réel appartenant à tous les segments Ainsi, est l'unique réel qui se trouve dans tous les segments c'est-à-dire le réel ; ; ; ..
Le processus inverse est de déterminer, pour un nombre réel donné, tous les développements décimaux auxquels il correspond. Si l'on sait qu'un nombre réel est dans le segment (c'est-à-dire que ), on peut diviser cet intervalle en 10 parties égales, qui ne se recouvrent qu'à leurs extrémités : . Le nombre doit appartenir à l'un de ces intervalles ; s'il appartient à , on note le chiffre , et l'on subdivise l'intervalle en dix : . On note alors le séparateur décimal et le chiffre correspondant à l'intervalle où se trouve ; en continuant ce processus, on obtient une suite infinie de segments emboîtés, que l'on repère par une suite infinie de chiffres et l'on écrit . Dans ce formalisme, les identités et reflètent respectivement que est à la fois dans le segment et , si bien que l'on peut choisir l'un ou l'autre de ces intervalles au début de la recherche des décimales. La suite découle de ce choix initial.
Le théorème des segments emboîtés est d'habitude basé sur un caractère plus fondamental des nombres réels : l'existence du plus petit majorant, appelé borne supérieure (ou ). Pour exploiter directement ce genre d'objet, on peut définir comme la borne supérieure de l'ensemble des approximants , , , ; ... On peut montrer ensuite que cette définition (ou celle par les segments emboîtés) est cohérente avec la procédure de subdivision, ce qui implique à nouveau que . Tom Apostol conclut : .
Démonstrations à partir de la construction des nombres réels
Certaines approches définissent explicitement les nombres réels comme étant des structures basées sur les nombres rationnels, en utilisant la théorie axiomatique des ensembles. Les nombres naturels : 0, 1, 2, etc. commencent par 0 et continuent en croissant, si bien que chaque nombre a un successeur. On peut étendre les nombres naturels par les entiers négatifs, pour obtenir tous les entiers, puis à leurs rapports, ce qui donne les nombres rationnels. Ces systèmes de nombres sont accompagnés par l'arithmétique des quatre opérations de base, l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. De façon plus subtile, ils incluent la notion d'ordre, si bien qu'un nombre peut être comparé à un autre, et trouvé supérieur, inférieur ou égal à ce dernier.
Le passage des rationnels aux réels est une extension majeure. Il existe au moins deux manières courantes d'aboutir à ce résultat, toutes deux publiées en 1872 : les coupures de Dedekind et les suites de Cauchy. Les démonstrations de qui utilisent directement ces constructions ne se trouvent pas dans les manuels d'analyse réelle, où la tendance dans les dernières décennies a été d'utiliser l'analyse axiomatique. Même si une construction est proposée, elle est généralement utilisée à démontrer les axiomes des nombres réels, qui à leur tour permettent les démonstrations données ci-dessus. Cependant, certains auteurs expriment l'idée qu'il serait logiquement préférable de commencer par une construction, et que les démonstrations qui en découlent seront plus autonomesLa synthèse historique est revendiquée par , puis par ; en fait les deux préfèrent les coupures de Dedekind aux axiomes. Pour l'utilisation des coupures dans les manuels, voir ou . Pour les points de vue sur la logique, voir , ou ..
Les coupures de Dedekind
La définition des nombres réels comme coupures de Dedekind a été publiée pour la première fois par Richard Dedekind en 1872.. Dans la reformulation désormais classique (cf. article détaillé), une coupure est une partie propre non vide de l'ensemble des rationnels remarque qu'on peut remplacer les rationnels par n'importe quel sous-anneau Partie dense, en particulier l'anneau des nombres décimaux., stable par minorant et ne possédant pas de plus grand élément explique : .. Un réel est alors représenté par l'ensemble infini de tous les rationnels qui lui sont strictement inférieurs. Tout développement décimal positif définit facilement une coupure de Dedekind : l'ensemble des rationnels strictement inférieurs à une certaine troncature du développement. Par exemple, la coupure correspondant au développement infini est l'ensemble des rationnels inférieurs à , ou à , ou à , et celle correspondant au développement fini est l'ensemble des rationnels strictement inférieurs à . Ces deux ensembles sont égaux donc les deux développements décimaux et représentent le même réel, par définition.
Suites de Cauchy