Le théorème de Fueter-Pólya, prouvé en 1923 par Rudolf Fueter et George Pólya, énonce que les seules bijections quadratiques de dans (l'ensemble des entiers naturels) sont les deux polynômes de Cantor.
Histoire En 1873, Cantor démontra (le polynôme présenté ici est une adaptation de celui de Cantor (), qui ne considérait pas mais ). que le produit de deux ensembles dénombrables est dénombrable, en exhibant la fonction polynomiale
qui réalise une bijection de dans , appelée fonction de couplage de Cantor. En intervertissant les deux variables, on obtient donc aussi une bijection :
En 1923, Fueter chercha à déterminer s'il existe d'autres polynômes quadratiques vérifiant cette propriété, et prouva qu'il n'en existe pas d'autre si l'on impose . Il envoya sa démonstration à Pólya, qui montra que le théorème ne nécessite pas cette dernière contrainte, et conjectura que même la restriction sur le degré est inutile. Ils publièrent cet échange épistolaire.. Leur preuve est étonnamment analytique et difficile, utilisant le théorème de Lindemann-Weierstrass..
En 2001, Maxim Vsemirnov a publié. Errata : ibid., vol. 14 , , 2002, p. 240. une démonstration élémentaire du théorème de Fueter-Pólya, utilisant seulement la loi de réciprocité quadratique de Gauss et le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet..
Énoncé Si un polynôme réel quadratique à deux variables se restreint en une bijection de dans , alors il s'agit nécessairement de
ou de .
Dimensions supérieures Le polynôme de Cantor peut être généralisé en un polynôme de degré n, bijectif de ℕn dans ℕ pour n ≥ 2, somme de coefficients binomiaux Paromita Chowla, « On some Polynomials which represent every natural number exactly once », Norske Vid. Selsk. Forh. Trondheim, vol. 34, 1961, p. 8-9. : . On conjecture, conjectures 4.2 à 4.4. que pour tout n ≥ 2, les n! fonctions polynomiales déduites de par permutation des variables sont les seules bijections polynomiales de degré n de ℕ dans ℕ, et qu'il n'y a qu'un nombre fini de bijections polynomiales de degré quelconque de ℕ dans ℕ, peut-être même seulement celles déduites des pour k ≤ n.
Notes et références
Fueter Polya