En mathématiques, le théorème de Blichfeldt est le théorème suivant, démontré en 1914 par .. :
Ou, ce qui est équivalent :
Une grande partie de la géométrie des nombres en résulte : ., à commencer par le théorème de Minkowski, que le cas suffit à redémontrer très rapidement..
Démonstrations Considérons d'abord une « région » de ℝ (à prendre ici au sens : partie Lebesgue-mesurable), de « volume » (au sens de la mesure de Lebesgue) .
Les deux premières des trois démonstrations ci-dessous s'appuient sur le lemme suivant (qui, pour , est immédiat) :
La preuve en est simple : en notant l'indicatrice de toute partie de , on a donc la fonction est strictement supérieure à en au moins un point.
Les translatés du domaine fondamental par les vecteurs à coordonnées entières forment une partition de ℝ, donc leurs intersections avec forment une partition de . Or la mesure de Lebesgue est invariante par translation. Par conséquent :D'après le principe des tiroirs, il existe donc au moins un point et vecteurs distincts tels que . Les points sont alors distincts, et leurs différences sont bien à coordonnées entières, ce qui termine la première démonstration.
Supposons, sans perte de généralité, que est borné. On considère un entier m > 0, et à chaque vecteur α à coordonnées entières comprises entre 0 et m, on associe le translaté M + α. Pour δ tel que M soit inclus dans [–δ, δ], tous ces translatés sont inclus dans le pavé [–δ, m + δ], comme illustré sur la figure. Pour m assez grand, on a (m + 1)λ(M) > k(m + 2δ), c'est-à-dire :On conclut, comme dans la première démonstration, grâce au principe des tiroirsLe cas du théorème de Blichfeldt est démontré ainsi dans .. Cette troisième démonstration ne s'applique que si est cubable. Pour tout entier , notons le nombre de points de appartenant à . Ce nombre est équivalent à quand , donc est strictement supérieur à pour suffisamment grand. Or modulo , les éléments de ne forment que classes. L'une d'entre elles contient donc au moins des points considérés, c'est-à-dire qu'il existe tel que contienne points distincts de . Les différences sont bien à coordonnées entières, ce qui termine cette troisième démonstration..
Considérons maintenant un compact de volume . D'après ce qui précède, pour tout entier , il existe un -uplet tel que pour , . La suite (à valeurs dans le compact produit ) possède une valeur d'adhérence , qui est alors aussi valeur d'adhérence de . Pour , appartient donc au fermé ..
Notes et références
Blichfeldt Catégorie:Réseau (mathématiques) Catégorie:Théorie algébrique des nombres