Le deuxième théorème de Minkowski est un résultat de géométrie des nombres sur les minima successifs d'un réseau, relativement à un convexe.
Minima successifs Dans ℝ, soient Γ un réseau et K un convexe compact symétrique par rapport à l'origine et de volume non nul. Les n minima successifs λ ≤ λ ≤ … ≤ λ de Γ relativement à K sont définis par : λ est le plus petit réel λ pour lequel λK (la boule fermée de centre 0 et de rayon λ pour la norme égale à la jauge de K) contient j vecteurs de Γ linéairement indépendants.
Exemples Par un changement de variables linéaire, on peut toujours se ramener au cas où le réseau Γ est ℤ. Alors, vol(ℝ/Γ) = 1 et : pour K = [–1, 1] (boule unité pour la norme ℓ), λ = … = λ = 1 et vol(K) = 2 ; pour K = {x ∈ ℝ | ∑|x| ≤ 1} (boule unité pour la norme ℓ), λ = … = λ = 1 et vol(K) = 2/n!.
Énoncé du théorème ; ; et 218 ; ..
La preuve de la première inégalité est . Certains auteurs et . ne mentionnent que la seconde sous l'intitulé « Deuxième théorème de Minkowski ». Cette dernière renforce « le » (premier) théorème de Minkowski, selon lequel λ vol(K) ≤ 2 vol(ℝ/Γ).
Démonstration La démonstration par Hermann Minkowski de la majoration, en 1896., , et de nombreuses preuves alternatives ont été publiées., repris dans ......, jusqu'à ce que Martin Henk, en 2002 (), repris dans ., en résumant la preuve originale de Minkowski, montre qu'elle était .
Notes et références
Bibliographie
( du .pdf)
(notes rédigées par Komaravolu Chandrasekharan)
Catégorie:Géométrie convexe Minkowski, Deuxième Catégorie:Réseau (mathématiques)