Il existe 230 types de groupes d'espace en trois dimensions, dénommés par un index numérique et un symbole de Hermann-Mauguin, appelé aussi symbole international (abrégé, complet ou étendu). Le symbole est parfois donné avec des espaces pour une meilleure lisibilité. À chaque type de groupe ponctuel de symétrie cristallographique correspond un ou plusieurs types de groupe d'espace.
Symboles Dans la notation de Hermann-Mauguin, les groupes d'espace sont nommés par un symbole qui contient une lettre majuscule décrivant le type de réseau et, pour chaque direction de symétrie du réseau, les éléments de symétrie. Lorsque plusieurs éléments de symétrie coexistent le long d’une direction de symétrie, dans le symbole du groupe d’espace on en choisit un selon la règle de priorité suivante : les axes de rotation sont prioritaires par rapport aux axes hélicoïdaux ayant la même composante de rotations ; les miroirs sont choisis selon la priorité suivante : m>e>a,b,c>n>d. Des exceptions existent toutefois, notamment dans le cas des groupes I222 vs. I212121 et de leur supergroupes cubiques I23 vs. I213. Dans ces groupes, un axe de rotation et un axe hélicoïdal coexistent le long des trois directions , , . Dans I222 et I23 les axes de rotation se croisent en un point, alors que cela n’est pas vrai pour I212121 et I213. Pour différencier ces deux paires de groupes, la convention ci-dessous n’est pas suivie pour I212121 et I213.
Le plan de réflexion m est le seul que l'on peut trouver dans un groupe ponctuel. Dans un groupe d'espace, en revanche, on trouve aussi des miroirs translatoires ou plans de glissement, désignés par a, b ou c lorsque la direction de glissement est parallèle à un vecteur de base. Selon le choix de la maille, on trouve aussi le glissement n qui est un glissement le long de la moitié d'une diagonale d'une face de la maille, et le glissement d qui est le long d'un quart d'une diagonale d'une face ou dans l'espace de la maille unitaire. Le glissement d est souvent appelé le plan de glissement du diamant car il apparaît dans la structure de diamant.
, ou , plan de glissement de cette face le long de la moitié d'un vecteur de la maille unitaire perpendiculaire à la face. , plan de glissement le long de la moitié de la diagonale d'une face. , plan de glissement le long d'un quart de la diagonale d'une face. , deux translations selon le même plan de glissement et une autre le long de la somme de deux vecteurs de la moitié de deux paramètres de la maille.
Un axe de rotation peut être remplacé par un axe hélicoïdal et est noté par le nombre n, qui correspond à l'angle de rotation de cet axe : . La longueur de la translation est alors ajoutée sous la forme d'un indice indiquant quelle est sa mesure le long de l'axe, c'est-à-dire la fraction du vecteur du paramètre de la maille parallèle. Par exemple, 21 est une rotation à 180 °, suivie d'une translation de ½ selon le vecteur de maille parallèle à l'axe de rotation. 31 correspond à une rotation de 120° suivie d'une translation de la moitié du vecteur de la maille parallèle à l'axe de rotation.
Les axes hélicoïdaux possibles sont: 21, 31, 32, 41, 42, 43, 61, 62, 63, 64 et 65.
Un type de groupe d'espace peut avoir jusqu'à trois symboles de Hermann-Mauguin : le symbole court, qui ne montre le long de chaque direction de symétrie que le nombre indispensable d'éléments de symétrie pour générer et représenter le groupe ; le symbole complet, qui montre chaque type d'élément de symétrie le long de chaque direction de symétrie ; le symbole étendu, bâtit sur le symbole court mais qui montre les éléments parallèles entre eux. Par exemple, le groupe nº 72 est représenté par le symbole court Ibam, le symbole complet I2/b2/a2/m et le symbole étendu ci-dessous. I b a m c c n
Dans la notation Schoenflies, le symbole d'un groupe d'espace est représenté par le symbole du groupe ponctuel correspondant avec un exposant supplémentaire. Cet exposant ne donne aucune information supplémentaire sur les éléments de symétrie du groupe d'espace. Il est lié à l'ordre dans lequel Shoenflies a décrit ces groupes d'espace.
Dans la notation Fedorov, le type de groupe d'espace est noté s (symmorphique), h (hémisymmorphique) ou a (asymmorphique). Cette lettre est suivie d'un nombre lié à l'ordre dans lequel Fedorov a décrit ces groupes d'espace. Les groupes d'espace qui correspondent au même groupe ponctuel peuvent être classés en symmorphiques (73), hémisymmorphiques (54) et asymmorphiques (103) : dans les groupes symmorphiquse le groupe de symétrie du site de la position de Wyckoff de moindre multiplicité est isomorphe du groupe ponctuel; les symboles de ces groupes ne présentent, outre que la lettre indiquant le type de maille conventionnelle, que des éléments de symétrie sans translation, car les opérations correspondantes peuvent être choisies, avec les translations, comme générateurs du groupe d'espace ; dans les groupes hémisymmorphiques, le groupe de symétrie du site de la position de Wyckoff de moindre multiplicité est un sous-groupe d'indice 2 du groupe correspondant dans le groupe symmorphique et ne contient que des opérations de première espèce ; tous les autres groupes d'espace sont asymmorphiques. Par exemple, pour le groupe ponctuel de symétrie 4/mmm : les groupes d'espace symmorphiques sont P4/mmm (, 36s) et I4/mmm (, 37s) ; les groupes d'espace hémisymmorphiques doivent contenir une combinaison axiale 422, ce sont P4/mcc (, 35h), P4/nbm (, 36h), P4/nnc (, 37h) et I4/mcm (, 38h).
Liste des groupes tricliniques Réseau de Bravaistriclinique (aP)
+ Système cristallin tricliniqueNuméroGroupe ponctuelSymbole abrégéSymbole completSchoenfliesFedorovShubnikov11P1 P 1 1s2P P 2s
Liste des groupes monocliniques Réseaux de Bravais monocliniquesSimple(mP)Centré faces C(mC)
+ Système cristallin monocliniqueNuméroGroupe ponctuelNom abrégéNoms completsSchoenfliesFedorovShubnikov32P2 P 1 2 1P 1 1 2 3s 42P21P 1 21 1P 1 1 21 1a 52C2 C 1 2 1B 1 1 2 4s 6mPm P 1 m 1P 1 1 m 5s 7mPc P 1 c 1P 1 1 b 1h 8mCm C 1 m 1B 1 1 m 6s 9mCc C 1 c 1B 1 1 b 2h 102/mP2/mP 1 2/m 1P 1 1 2/m 7s 112/mP21/mP 1 21/m 1P 1 1 21/m 2a 122/mC2/mC 1 2/m 1B 1 1 2/m 8s 132/mP2/cP 1 2/c 1P 1 1 2/b 3h 142/mP21/cP 1 21/c 1P 1 1 21/b 3a 152/mC2/cC 1 2/c 1B 1 1 2/b 4h
Liste des groupes orthorhombiques Réseaux de Bravais orthorhombiques Primitif(oP) Centré(oI) centré faces C(oC) Faces centrées(oF)
+ Système cristallin orthorhombiqueNuméroGroupe ponctuelSymbole abrégéSymbole completSchoenfliesFedorovShubnikov16222P222P 2 2 2 9s 17222P2221P 2 2 21 4a 18222P21212P 21 21 2 7a 19222P212121P 21 21 21 8a 20222C2221C 2 2 21 5a 21222C222C 2 2 2 10s 22222F222F 2 2 2 12s 23222I222I 2 2 2 11s 24222I212121I 21 21 21 6a 25mm2Pmm2P m m 2 13s 26mm2Pmc21P m c 21 9a 27mm2Pcc2P c c 2 5h 28mm2Pma2P m a 2 6h 29mm2Pca21P c a 21 11a 30mm2Pnc2P n c 2 7h 31mm2Pmn21P m n 21 10a 32mm2Pba2P b a 2 9h 33mm2Pna21P n a 21 12a 34mm2Pnn2P n n 2 8h 35mm2Cmm2C m m 2 14s 36mm2Cmc21C m c 21 13a 37mm2Ccc2C c c 2 10h 38mm2Amm2A m m 2 15s 39mm2Aem2A e m 2 11h 40mm2Ama2A m a 2 12h 41mm2Aea2A e a 2 13h 42mm2Fmm2F m m 2 17s 43mm2Fdd2F dd2 16h 44mm2Imm2I m m 2 16s 45mm2Iba2I b a 2 15h 46mm2Ima2I m a 2 14h 47PmmmP 2/m 2/m 2/m 18s 48PnnnP 2/n 2/n 2/n 19h 49PccmP 2/c 2/c 2/m 17h 50PbanP 2/b 2/a 2/n 18h 51PmmaP 21/m 2/m 2/a 14a 52PnnaP 2/n 21/n 2/a 17a 53PmnaP 2/m 2/n 21/a 15a 54PccaP 21/c 2/c 2/a 16a 55PbamP 21/b 21/a 2/m 22a 56PccnP 21/c 21/c 2/n 27a 57Pbcm P 2/b 21/c 21/m 23a 58PnnmP 21/n 21/n 2/m 25a 59PmmnP 21/m 21/m 2/n 24a 60PbcnP 21/b 2/c 21/n 26a 61PbcaP 21/b 21/c 21/a 29a 62Pnma P 21/n 21/m 21/a 28a 63CmcmC 2/m 2/c 21/m 18a 64CmceC 2/m 2/c 21/e 19a 65CmmmC 2/m 2/m 2/m 19s 66CccmC 2/c 2/c 2/m 20h 67CmmeC 2/m 2/m 2/e 21h 68CcceC 2/c 2/c 2/e 22h 69FmmmF 2/m 2/m 2/m 21s 70FdddF 2/d 2/d 2/d 24h 71ImmmI 2/m 2/m 2/m 20s 72IbamI 2/b 2/a 2/m 23h 73IbcaI 2/b 2/c 2/a 21a 74ImmaI 2/m 2/m 2/a 20a
Liste des groupes tétragonaux Réseaux de Bravais tétragonaux Primitif(tP) Centré(tI)
+ Système cristallin tétragonalNuméroGroupe ponctuelSymbole abrégéSymbole completSchoenfliesFedorovShubnikov754P4P 4 22s 764P41P 41 30a 774P42P 42 33a 784P43P 43 31a 794I4I 4 23s 804I41I 41 32a 81PP 26s 82II 27s 834/mP4/mP 4/m 28s 844/mP42/mP 42/m 41a 854/mP4/nP 4/n 29h 864/mP42/nP 42/n 42a 874/mI4/mI 4/m 29s 884/mI41/aI 41/a 40a 89422P422P 4 2 2 30s 90422P4212P4212 43a 91422P4122P 41 2 2 44a 92422P41212P 41 21 2 48a 93422P4222P 42 2 2 47a 94422P42212P 42 21 2 50a 95422P4322P 43 2 2 45a 96422P43212P 43 21 2 49a 97422I422I 4 2 2 31s 98422I4122I 41 2 2 46a 994mmP4mmP 4 m m 24s 1004mmP4bm P 4 b m 26h 1014mmP42cm P 42 c m 37a 1024mmP42nm P 42 n m 38a 1034mmP4cc P 4 c c 25h 1044mmP4nc P 4 n c 27h 1054mmP42mc P 42 m c 36a 1064mmP42bc P 42 b c 39a 1074mmI4mm I 4 m m 25s 1084mmI4cm I 4 c m 28h 1094mmI41md I 41 m d 34a 1104mmI41cd I 41 c d 35a 1112mP2m P 2 m 32s 1122mP2c P 2 c 30h 1132mP21m P 21 m 52a 1142mP21c P 21 c 53a 1152mPm2 P m 2 33s 1162mPc2 P c 2 31h 1172mPb2 P b 2 32h 1182mPn2 P n 2 33h 1192mIm2 I m 2 35s 1202mIc2 I c 2 34h 1212mI2m I 2 m 34s 1222mI2d I 2 d 51a 1234/m 2/m 2/mP4/mmm P 4/m 2/m 2/m 36s 1244/m 2/m 2/mP4/mcc P 4/m 2/c 2/c 35h 1254/m 2/m 2/mP4/nbm P 4/n 2/b 2/m 36h 1264/m 2/m 2/mP4/nnc P 4/n 2/n 2/c 37h 1274/m 2/m 2/mP4/mbm P 4/m 21/b 2/m 54a 1284/m 2/m 2/mP4/mnc P 4/m 21/n 2/c 56a 1294/m 2/m 2/mP4/nmm P 4/n 21/m 2/m 55a 1304/m 2/m 2/mP4/ncc P 4/n 21/c 2/c 57a 1314/m 2/m 2/mP42/mmc P 42/m 2/m 2/c 60a 1324/m 2/m 2/mP42/mcm P 42/m 2/c 2/m 61a 1334/m 2/m 2/mP42/nbc P 42/n 2/b 2/c 63a 1344/m 2/m 2/mP42/nnm P 42/n 2/n 2/m 62a 1354/m 2/m 2/mP42/mbc P 42/m 21/b 2/c 66a 1364/m 2/m 2/mP42/mnm P 42/m 21/n 2/m 65a 1374/m 2/m 2/mP42/nmc P 42/n 21/m 2/c 67a 1384/m 2/m 2/mP42/ncm P 42/n 21/c 2/m 65a 1394/m 2/m 2/mI4/mmm I 4/m 2/m 2/m 37s 1404/m 2/m 2/mI4/mcm I 4/m 2/c 2/m 38h 1414/m 2/m 2/mI41/amd I 41/a 2/m 2/d 59a 1424/m 2/m 2/mI41/acd I 41/a 2/c 2/d 58a
Liste des groupes trigonaux Réseaux de Bravais rhomboédrique et hexagonal Rhomboédrique(hR) Hexagonal(hP)
+ Système cristallin trigonalNuméroGroupe ponctuelSymbole abrégéSymbole completSchoenfliesFedorovShubnikov1433P3 P 3 38s 1443P31 P 31 68a 1453P32 P 32 69a 1463R3 R 3 39s 147P P 51s 148R R 52s 14932P312 P 3 1 2 45s 15032P321 P 3 2 1 44s 15132P3112 P 31 1 2 72a 15232P3121 P 31 2 1 70a 15332P3212 P 32 1 2 73a 15432P3221 P 32 2 1 71a 15532R32 R 3 2 46s 1563mP3m1 P 3 m 1 40s 1573mP31m P 3 1 m 41s 1583mP3c1 P 3 c 1 39h 1593mP31c P 3 1 c 40h 1603mR3m R 3 m 42s 1613mR3c R 3 c 41h 162 2/mP1m P 1 2/m 56s 163 2/mP1c P 1 2/c 46h 164 2/mPm1 P 2/m 1 55s 165 2/mPc1 P 2/c 1 45h 166 2/mRm R 2/m 57s 167 2/mRc R 2/c 47h
Liste des groupes hexagonaux
Réseau de Bravaishexagonal (hP)
+ Système cristallin hexagonalNuméroGroupe ponctuelSymbole abrégéSymbole completSchoenfliesFedorovShubnikov1686P6 P 6 49s 1696P61 P 61 74a 1706P65 P 65 75a 1716P62 P 62 76a 1726P64 P 64 77a 1736P63 P 63 78a 174P P 43s 1756/mP6/m P 6/m 53s 1766/mP63/m P 63/m 81a 177622P622 P 6 2 2 54s 178622P6122 P 61 2 2 82a 179622P6522 P 65 2 2 83a 180622P6222 P 62 2 2 84a 181622P6422 P 64 2 2 85a 182622P6322 P 63 2 2 86a 1836mmP6mm P 6 m m 50s 1846mmP6cc P 6 c c 44h 1856mmP63cm P 63 c m 80a 1866mmP63mc P 63 m c 79a 187m2Pm2 P m 2 48s 188m2Pc2 P c 2 43h 189m2P2m P 2 m 47s 190m2P2c P 2 c 42h 1916/m 2/m 2/mP6/mmm P 6/m 2/m 2/m 58s 1926/m 2/m 2/mP6/mcc P 6/m 2/c 2/c 48h 1936/m 2/m 2/mP63/mcm P 63/m 2/c 2/m 87a 1946/m 2/m 2/mP63/mmc P 63/m 2/m 2/c 88a
Liste des groupes cubiques Réseaux de Bravais cubiques Primitif(cP) Centré(cI) Faces centrées(cF)