En mathématiques, et plus précisément en topologie algébrique, le théorème du point fixe de Brouwer fait partie de la grande famille des théorèmes de point fixe, qui énoncent que si une fonction continue f vérifie certaines propriétés, alors il existe un point x0 tel que f(x0) = x0. La forme la plus simple du théorème de Brouwer prend comme hypothèse que la fonction f est définie sur un intervalle fermé borné non vide I et à valeurs dans I. Sous une forme plus générale, la fonction est définie sur un convexe compact K d'un espace euclidien et à valeurs dans K.
Si, parmi les centaines de théorèmes de point fixeV. & F. Bayart, Point fixe, et théorèmes du point fixe sur le site bibmath.net., celui de Brouwer est particulièrement célèbre, c'est en partie parce qu'il est utilisé dans de nombreuses branches mathématiques. Dans sa branche d'origine, ce résultat est l'un des théorèmes clés caractérisant la topologie d'un espace euclidien, comme le théorème de Jordan, celui de la boule chevelue ou de Borsuk-Ulam.. À ce titre, il est un des théorèmes fondamentaux de la topologiePlus précisément, lEncyclopædia Universalis indique : (Luizen Brouwer par G. Sabbagh).. Ce théorème intervient aussi pour établir des résultats fins sur les équations différentielles ; il est présent dans les cours élémentaires de géométrie différentielle. Il apparaît dans des branches plus inattendues, comme la théorie des jeux, où John Nash l'utiliseThèse de Doctorat de John F. Nash, Non-cooperative games, Princeton, 1950, . pour montrer l'existence d'un équilibre pour un jeu de n personnes avec stratégies mixtes. Historiquement, le théorème est étudié à la suite de travaux sur les équations différentielles de mathématiciens français comme Poincaré et Picard. Démontrer des résultats comme le théorème de Poincaré-Bendixson demande l'usage d'outils de topologie. Ces études de la fin du débouchent sur plusieurs versions successives du théorème ; en 1912, Luitzen Egbertus Jan Brouwer en propose une démonstration générale, établissant à nouveau un résultat déjà prouvé par Hadamard en 1910.
Énoncés Il existe plusieurs formes du théorème, selon le contexte d'utilisation. La plus simple est parfois donnée sous la forme suivante :
Il est possible de généraliser à toute dimension finie.
De manière équivalenteIl suffit de remarquer que tout convexe compact est homéomorphe à une boule fermée. Pour plus de détails, voir l'article Ensemble convexe. :
On trouve une forme encore plus générale, mais habituellement, elle porte alors un autre nom :
Approche intuitive Commentaires attribués à Brouwer L'origine de ce théorème proviendrait de l'observation d'une tasse de café par BrouwerL'intérêt de l'anecdote réside dans son caractère intuitif et didactique, mais son exactitude est douteuse. Comme le montre l'histoire, l'origine du théorème n'est pas l'œuvre de Brouwer. Poincaré avait, plus de avant, démontré un résultat équivalent et Bohl avait déjà, cinq ans avant Brouwer, trouvé une démonstration pour la dimension trois.. Quand on mélange son sucre, il semble qu'il y ait toujours un point immobile. Il en déduit que : Cette citation provient d'une émission de télévision : Archimède, Arte, 21 septembre 1999.. Le point fixe n'est pas nécessairement celui qui semble immobile car le centre du tourbillon bouge un petit peu. Le résultat n'est pas intuitif, car le point initialement fixe aura peut-être bougé, mais un autre point fixe apparaîtra.
Brouwer aurait ajouté : . Quand Brouwer aplatit sa feuille froissée, il ne la déplie pas, il l'écrase, comme à l'aide d'un fer à repasser.
Dimension un thumb|right En dimension un, le résultat est à la fois intuitif et aisé à démontrer. On note le domaine de définition de . La fonction est continue et à valeurs dans le même segment. Dire que cette fonction admet un point fixe, revient à dire que son graphe (en bleu-gris sur la figure de droite et choisi dans ce cas égal à celui de la fonction cosinus sur l'intervalle ) croise celui de la fonction définie sur , qui à associe (en vert sur la figure de droite).
Intuitivement, une ligne (en noir) qui part d'un côté d'un carré (en bleu) pour rejoindre le côté opposé (en rouge) croise nécessairement les diagonales et en particulier la verte sur la figure.
Une démonstration n'est pas difficile à établir. Considérons la fonction continue . Elle est positive en et négative en . Le théorème des valeurs intermédiaires assure qu'elle possède un zéro dans . Ce zéro est un point fixe de .
Brouwer aurait exprimé ce résultat de la manière suivante : .
Dimension deux En dimension deux, si K, le domaine de définition de f est d'intérieur vide, c'est un segment. Sinon, K est « semblable » à une boule unité fermée de R, pour une norme arbitraire. Le terme « semblable » signifie qu'il existe un homéomorphisme φ de la boule unité vers K. En notant h l'application continue φ∘f∘φ de la boule unité dans elle-même, les points fixes de f sont exactement les images par φ des points fixes de h. Autrement dit, on peut sans perte de généralité supposer que K est la boule unité fermée, pour la norme qui associe à tout vecteur du plan la plus grande valeur absolue de ses deux coordonnées, c'est-à-dire que K est l'ensemble [–1, 1]×[–1, 1].
Si l'on définit la fonction g comme celle qui à x associe h(x) – x, un point fixe de h est un point de [–1, 1]×[–1, 1] en lequel la fonction g atteint le vecteur nul, c'est-à-dire en lequel les deux composantes g1 et g2 de g s'annulent simultanément.
right|thumb Un « raisonnement » intuitif incite à penser que l'existence d'un tel point est plausible : la fonction g1 est une fonction de [–1, 1]×[–1, 1] dans R. Elle peut s'interpréter comme une carte d'une région, qui en chaque point donne l'altitude (illustrée sur la première figure à droite). Sur la zone {–1}×[–1, 1], cette altitude est positive (en rouge sur la figure), en revanche sur {1}×[–1, 1], elle est négative (en bleu sur la figure). Ceci « laisse penser que » la « courbe » de niveau 0 est une ligne (en vert sur la figure) qui part d'un point [–1, 1]×{1} pour finir sur un point de [–1, 1]×{–1}, mais cette intuition est fausse : la zone verte n'est pas nécessairement une ligne ni même une partie connexe. Le même « raisonnement » appliqué à g2 « laisse penser que » la courbe de niveau 0 serait cette fois-ci une ligne partant d'un point de {–1}×[–1, 1] pour terminer sur un point de {1}×[–1, 1] (illustré sur la deuxième figure, la ligne est en jaune).
L'« évidence » intuitive que ces deux hypothétiques « lignes » de niveaux (en vert et en jaune) doivent nécessairement se croiser (ce point de croisement étant alors un point fixe de h) est donc une fausse piste.
Dimension finie Le paragraphe précédent se généralise à toute dimension finie, autant dans son raisonnement rigoureux du début que dans ses fausses intuitions de la suite.
Illustrons ces dernières en dimension 3. L'objectif est toujours de tenter de se persuader à peu de frais de la véracité du théorème de Poincaré-Miranda, c'est-à-dire de l'existence d'un zéro de la fonction g, qui maintenant possède trois coordonnées.
thumb|right La première coordonnée est positive sur la face gauche du cube et négative sur la face droite. Cette « nappe » couperait le cube en au moins deux composantes connexes, l'une contenant une portion de la face de droite l'autre celle de gauche. Si l'axe des y décrit la direction « devant-derrière » le même « raisonnement » « laisse penser à » l'existence d'une « nappe », en vert sur la figure, qui couperait encore en au moins deux composantes connexes le cube. L'intersection des deux « nappes » contiendrait « probablement » une « ligne », en jaune sur la figure, partant de la face du haut pour rejoindre celle du bas. La troisième composante de g décrirait, cette fois-ci, une « nappe » en rouge sur la figure. Cette « nappe » « semble » croiser « nécessairement » la ligne jaune. Ce point d'intersection serait un point fixe recherché.
Fragments d'histoire Préhistoire thumb|right|Si la zone parcourue par le courant n'est pas bornée, ou contient un trou en son milieu, le théorème ne n'applique pas. thumb|left|Dans le cas d'une zone ayant la forme d'un disque, le théorème s'applique et garantit l'existence d'un point fixe. Comprendre la préhistoire du théorème du point fixe de Brouwer impose un passage par une équation différentielle. À la fin du , une vieille questionVoir à ce sujet : F. Brechenmacher, L'identité algébrique d'une pratique portée par la discussion sur l'équation à l'aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires des planètes, CNRS, Fédération de Recherche Mathématique du Nord-Pas-de-Calais. focalise à nouveau l'attention de la communauté mathématique, celle de la stabilité du système solaireLa question de la stabilité du système solaire est le sujet du texte mathématique de Henri Poincaré récompensé par le Prix du roi de Suède en 1889 : J. Tits, Célébrations nationales 2004, site du ministère de la Culture et de la Communication.. La résoudre suppose la mise au point de nouvelles méthodes. Comme le fait remarquer Henri Poincaré, qui étudie le problème des trois corps, la recherche d'une solution exacte est vaine : H. Poincaré, Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Gauthier-Villars, vol. 3, (1892) rééd. Paris : Blanchard, 1987.. Ce mathématicien remarque aussi que la recherche d'une solution approchée n'est pas plus efficace : Citation d'H. Poincaré, extraite du texte : P. A. Miquel, La catégorie de désordre, par le site de l'Association roumaine des chercheurs francophones en sciences humaines..
Il étudie une question analogue à celle du mouvement de la surface d'une tasse de café. Que peut-on dire, en général, des trajectoires d'une surface animée par un courant constantCette question est étudiée dans le texte : . ? Poincaré découvre que la réponse réside dans ce que l'on appelle maintenant les propriétés topologiques de la zone contenant la trajectoire. Si cette zone est compacte, c'est-à-dire à la fois fermée et bornée, soit la trajectoire s'immobilise, soit elle s'approche de plus en plus d'une boucle qu'elle parcourt indéfinimentC'est le résultat du théorème de Poincaré-Bendixson.. Poincaré va plus loin, si la zone est de même nature que celle d'un disque, comme c'est le cas pour la tasse de café, il existe nécessairement un point fixe. Ce point fixe est invariant par toutes les fonctions qui, à chaque point de la surface initiale, associent sa position au bout d'une période t. Si cette zone correspond à une bande circulaire ou si elle n'est pas ferméeL'homothétie d'un rapport 1/2 sur le carré ouvert ]0, 1[2 n'admet pas de point fixe., ce n'est pas nécessairement le cas.
Pour mieux comprendre l'équation différentielle, une nouvelle branche des mathématiques voit le jour. Poincaré l'appelle l'analysis situs, lEncyclopædia Universalis la définit comme celle qui Christian Houzel et Michel Paty, « Poincaré, Henri (1854-1912) », Encyclopædia Universalis, Albin Michel, Paris, 1999, .. Dès 1886, Poincaré établit un résultatL'énoncé de Poincaré est donné dans . dont on sait aujourd'hui qu'il équivaut au théorème du point fixe de Brouwer.. Un peu plus tard, il développe l'un des outils de base pour mieux comprendre l'analysis situs, que l'on appelle maintenant le groupe fondamental ou le groupe de Poincaré Jean Dieudonné, A History of Algebraic and Differential Topology, 1900-1960, .. Cette méthode est utilisée dans une des démonstrations du théorème présentées dans l'articleElle permet une preuve très condensée, présenté dans l'article Groupe fondamental..