Considérons un ensemble A muni d'une relation binaire ≤. Un sous-ensemble B de A est dit cofinal si : pour tout élément a de A, il existe un élément b de B tel que a ≤ b ; ∀ a ∈ A, ∃ b ∈ B \ a La cofinalité de l'ensemble A est le cardinal du plus petit sous-ensemble cofinal de A.
La cofinalité d'un ordinal limite est le plus petit ordinal tel qu'il existe une fonction non majorée. Cet ordinal est usuellement noté ou .
Intuitivement, est le plus petit nombre de pas à faire pour arriver au bout de .
Par exemple, on peut aller au bout de en pas, avec la fonction identité, mais on ne peut pas aller au bout de en un nombre fini de pas. On a donc .
Un cardinal qui est égal à sa cofinalité, comme ici, , est appelé cardinal régulier.
De même, on peut aller au bout de en pas mais on ne peut pas le faire en un nombre dénombrable de pas. On a donc ; qui est donc aussi un cardinal régulier.
En revanche, on peut aller au bout de en pas, avec la fonction définie par , donc .
Un cardinal qui n'est pas régulier, c'est-à-dire qui n'est pas égal à sa cofinalité, comme ici est appelé cardinal singulier.
Propriétés Pour tout ordinal limite , on a les propriétés suivantes : existe ; est un cardinal ; est régulier, autrement dit ; Si et alors est borné ; si est un ordinal limite, alors ; par exemple, . Pour tout cardinal infini , on a les propriétés suivantes : , c'est une conséquence du théorème de König ; pour tout cardinal , ; pour et , on obtient , on a donc en particulier ; ceci est également une conséquence du théorème de König. La cofinalité des cardinaux permet de mettre en évidence certaines différences de comportements. Par exemple, vis-à-vis de l'exponentiation cardinale, a essentiellement prouvé que, pour les cardinaux réguliers, les seules contraintes prouvables dans sur la fonction sont et . Pour les cardinaux singuliers, la situation est différente. Notamment, a démontré que si est singulier et de cofinalité non dénombrable, et si pour tout , alors .
Généralisations On peut généraliser la notion de cofinalité à n'importe quel ensemble préordonné : si est un ensemble préordonné, la cofinalité de est le plus petit cardinal d'une partie cofinale dans , c'est-à-dire telle que pour tout il existe tel que .
Par exemple, si est l'ensemble des fonctions de dans lui-même muni du préordre défini par si et seulement si pour tout entier à partir d'un certain rang, alors la cofinalité de ce préordre, noté généralement et appelé le nombre dominant (), est un cardinal compris entre et , mais sa valeur exacte ne peut pas être déterminée dans l'axiomatique usuelle de la théorie des ensembles, ZFC.
La , introduite par Saharon Shelah, étudie les cofinalités possibles des ultraproduits de certains ensembles ordonnés. Cela lui a permis de démontrer de nouvelles inégalités sur l'exponentiation cardinale, comme .
Références
Catégorie:Théorie des ensembles Catégorie:Nombre cardinal Catégorie:Nombre ordinal Catégorie:Théorie des ordres