En analyse mathématique, un noyau de sommabilité est une famille de fonctions intégrables, vérifiant certaines conditions suffisantes qui en font une unité approchée.
Définition Soit l'espace euclidien . ou le cercle unité .. (ou .), muni de sa mesure de Lebesgue (de masse 1, dans le cas du cercle).
Un noyau de sommabilité sur est une famille parle d'une famille indexée par une partie de à laquelle est adhérent. de fonctions intégrables sur telle que :
pour tout fermé de ne contenant pas , . Une variante et . est de considérer une suite de fonctions et de remplacer, dans le point 3, par .
Si les fonctions sont positives, la condition 2 est clairement redondante.
Exemples Sur , si est une fonction intégrable et d'intégrale 1, la famille définie par est un noyau de sommabilité, § II.6.31, réserve le nom d' aux familles construites de cette façon, avec même fonction test positive.. Un exemple est le noyau de Poisson sur , qui correspond à la fonction . Un autre. est le noyau de Gauss-Weierstrass sur , qui correspond à la fonction gaussienne . On peut en construire bien d'autres : voir par exemple « Intégrale impropre ».
Sur le cercle : le noyau de Dirichlet n'est pas un noyau de sommabilité () mais sa moyenne de Cesàro, le noyau de Fejér, en est un.. le noyau de Landau (qui est une suite) et le noyau de Poisson (réindexé par avec .) sont des noyaux de sommabilité. le noyau de Gauss-Weierstrass sur est le noyau de sommabilité donné par. : .
Approximation par convolution La principaleÀ tel point que , appelle « unités approchées » les noyaux de sommabilité. propriété des noyaux de sommabilité est la suivante.
Notes et références
Bibliographie
Catégorie:Analyse harmonique Catégorie:Théorie de l'intégration