En mathématiques, une équation aux dérivées partielles linéaire du second ordre, dont la forme générale est donnée par :
est dite parabolique en un point donné de l'ouvert U si la matrice carrée symétrique des coefficients du second ordre admet n–1 valeurs propres non nulles et de même signe et une valeur propre nulle, le vecteur propre associé à cette dernière, noté , étant tel que , désignant le vecteur des n coefficients du premier ordreSi cette dernière condition n'est pas vérifiée l'équation sera dégénérée..
Exemple Un exemple classique d'équation différentielle parabolique est l'équation de la chaleur : , où est la diffusivité thermique et la chaleur spécifique à pression constante, S désignant un terme source de production de chaleur, la température au point de l'espace et à l'instant .
En effet, dans ce cas la matrice A est donnée par et admet donc une valeur propre nulle, et trois autres égales à –D et donc de même signe. Par ailleurs le vecteur propre associé à la valeur propre nulle, soit est clairement non orthogonal au vecteur .
Notes et références
Bibliographie . Maurice Gevrey, Sur les équations aux dérivées partielles du type parabolique, Gauthier-Villars, 1913
Voir aussi Équation aux dérivées partielles Équation aux dérivées partielles elliptique Équation aux dérivées partielles hyperbolique
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