En mathématiques, et plus précisément en analyse, une série de Bertrand est une série de nombres réels de la forme : , où et sont deux nombres réels. Elles portent le nom du mathématicien Joseph Bertrand qui les a étudiées en 1842.
Pour , on retrouve les séries de Riemann données par .
Condition de convergence Énoncé Le résultat suivant énonce une condition nécessaire et suffisante de convergence pour les séries de Bertrand.
Démonstration par le critère intégral de Cauchy La série de Bertrand a le même comportement que l'intégrale en de la fonction
qui est définie et strictement positive sur ), car est monotone au-delà d'une certaine valeur. On a donc la même conclusion que pour l'intégrale de Bertrand associée : si , la série converge ; si , elle diverge ; si , elle converge si et seulement si .
On peut de plus remarquer que si ou si et , alors est croissante au-delà d'une certaine valeur donc la divergence est grossière.
Démonstration par comparaison avec d'autres séries Les cas se traitent facilement par comparaison avec des séries de Riemann et croissances comparées.
Si , la série diverge car son terme général est équivalent à celui, , d'une série télescopique divergente. Par comparaison avec ce cas limite, on en déduit que la série diverge si et (et a fortiori si ).
Si et , on peut procéder de même en remarquant que pour tout , , ou utiliser le test de condensation de Cauchy. On retrouve ensuite, par comparaison, les cas .
Exemples numériques On a les valeurs approchées suivantes : ; . ; . ; .
Références
Voir aussi
Articles connexes
Série de Riemann Intégrale de Bertrand
Liens externes
Bertrand