En mathématiques, une suite de Skolem d’ordre , du nom du mathématicien norvégien Thoralf Skolem qui les a étudiées en 1957 , est une suite finie de entiers, constituée des entiers de 1 à répétés chacun deux fois, les deux occurrences d'un entier étant distantes de .
Une suite de Langford, du nom de C. Dudley Langford qui a posé le problème de leur construction en 1958, en est la variante où les occurrences de sont distantes de (autrement dit il y a nombres entre les deux occurrences de ).
Par exemple, (4,2,3,2,4,3,1,1) est une suite de Skolem d’ordre 4 et (2,3,1,2,1,3) une suite de Langford d'ordre 3.
Définition formelle Une suite de Skolem est de la forme , avec : pour tout de l’ensemble , il y a exactement deux indices et pour lesquels ; si avec alors . La suite des possède alors la même propriété qu'une suite de Langford (il y a nombres entre les deux occurrences de ), mais cette suite prend ses valeurs de 0 à (tandis qu'une suite de Langford prend ses valeurs de 1 à ) ; par exemple, la suite de Skolem (4,2,3,2,4,3,1,1) donne la suite de Langford "étendue" (3,1,2,1,3,2,0,0).
Propriétés Il existe une suite de Skolem d’ordre si et seulement si est congru à 0 ou 1 modulo 4..
La restriction analogue pour les suites de Langford est : congru à 0 ou 3 modulo 4.
Dénombrements et exemples On ne connait pas de formule générale donnant le nombre de suites de Skolem ou de Langford d'ordre , mais seulement des algorithmes pour les énumérer.
Les premiers termes de la suite formée des nombres de suites de Langford d'ordre (en commençant par et en comptant pour 1 deux suites inversées l'une de l'autre) sont : 0, 0, 1, 1, 0, 0, 26, 150, 0, 0, 17792, 108144, 0, 0, voir la .
La même suite pour les suites de Skolem débute par : 1, 0, 0, 3, 5, 0, 0, 252, 1328, 0, 0, 227968, 1520280, voir la où les suites de Skolem sont dénommées suites de Nickerson.
Par exemple : la seule suite de Langford d'ordre 4 est (2,3,4,2,1,3,1,4) ou son inverse, et l'une des 26 suites de Langford d'ordre 7 est (1,4,1,5,6,7,4,2,3,5,2,6,3,7) ; l'une des 5 suites de Skolem d'ordre 5 est (4,5,1,1,4,3,5,2,3,2).
Variantes Éric Angelini appelle nombre de Skolem-langford un entier naturel dont les chiffres de l'écriture décimale sont répétés exactement deux fois et tels qu'il y a chiffres entre les deux occurrences d'un chiffre . Rangés dans l'ordre croissant, ces nombres sont : 2002, 131003, 231213, 300131, 312132, 420024,... Il y en a exactement 20120, et le plus grand d'entre eux est 978416154798652002 ; voir la .
En faisant une recherche sur Skolem Langford dans l'OEIS, on trouvera plusieurs autres variantes.
Dans la culture Les suites de Skolem ont inspiré une bande dessinée de Jean-François Kierzkowski (2015 et 2016)..
La suite de Langford d'ordre 8 est à la base de Pyramids XXV, une œuvre du peintre allemand Gerhard Hotter..
Notes et références
Voir aussi Bibliographie
Articles connexes Suite de Kolakoski
Skolem Catégorie:Autoréférence