Le triangle de Bernoulli est une présentation en tableau triangulaire des sommes partielles des lignes du triangle de Pascal.
Il est répertorié comme .
Description Pour tout entier naturel et tout entier entre 0 et , le terme de la ligne d'indice et de la colonne d'indice est donné par :
i.e., la somme des + 1 premiers coefficients binomiaux de la ligne d'indice du triangle de PascalOn-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
Les premières lignes en sont : 012345011111111 22222213444431478884151115161651616263132 Le triangle a été complété par les termes pour , où dans ce cas .
On obtient donc le triangle de Bernoulli en ajoutant à chaque colonne du triangle de Pascal les colonnes précédentes.
Comme dans le triangle de Pascal, chaque terme du triangle de Bernoulli est la somme de deux termes de la ligne précédente, c'est-à-dire que :
L'initialisation pour le triangle est (identique à celle du triangle de Pascal), et .
Pour le triangle complété, il suffit de prendre .
Remarque : avec la même initialisation : , mais la relation de récurrence , on obtient , et avec la relation de récurrence : , on obtient , nombre de Delannoy.
Formule close Il existe une formule close exprimant , mais elle fait intervenir une fonction hypergéométrique (voir ) (alors que la somme alternée partielle d'une ligne du triangle de Pascal s'exprime simplement : ).
On peut par contre exprimer simplement le terme central : , voir la .
Propriétés est un polynôme en de degré . C'est l'unique polynôme de Lagrange de degré , , tel que pour .
Somme d'un colonne En itérant la relation de récurrence, on obtient que : chaque terme est la somme des termes de la colonne précédente (complétée) jusqu'à la ligne précédente augmentée de 1 ; par exemple, dans la ligne 4 : 15 = 7+4+2+1+1.
Somme d'une diagonale descendante En itérant autrement la relation de récurrence, on obtient que : chaque terme est la somme des termes de la diagonale descendante jusqu'à la ligne précédente ; par exemple, dans la ligne 4 : 15 = 8+4+2+1.
Somme d'une diagonale montante Comme dans le triangle de Pascal et d'autres triangles de construction similaireHoggatt, Jr, V. E., A new angle on Pascal's triangle, Fibonacci Quarterly 6(4) (1968) 221–234; Hoggatt, Jr, V. E., Convolution triangles for generalized Fibonacci numbers, Fibonacci Quarterly 8(2) (1970) 158–171, la somme des termes d'une diagonale montante du triangle de Bernoulli complété s'exprime à l'aide de la suite de Fibonacci Neiter, D. & Proag, A., Links Between Sums Over Paths in Bernoulli's Triangles and the Fibonacci Numbers, Journal of Integer Sequences, 19 (2016) 16.8.3. : . Par exemple, à partir de la ligne 3 : . Si on se limite au triangle, ; voir la .
Suites associées aux colonnes vignette|300x300px|Colonnes du triangle de Bernoulli avec indication en anglais de la suite correspondante et son numéro dans l'OEIS.
est le nombre de parties d'un segment séparé par points distincts.
est le nombre maximal de morceaux que l'on peut obtenir en coupant un disque (ou un convexe plan ) par coupes rectilignes (voir la suite du traiteur paresseux). est le nombre maximal de morceaux que l'on peut obtenir en coupant un convexe de l'espace par coupes planes (voir la suite des nombres gâteaux). Plus généralement, est le nombre maximal de morceaux que l'on peut obtenir en coupant un convexe de par hyperplans affines. est aussi le nombre maximal de régions déterminées par les cordes joignant points sur un cercle .
Voir aussi
Article connexe Jacques Bernoulli
Lien externe
Bernoulli's triangle dans l'OEIS
Notes et références
Bernoulli Catégorie:Combinatoire Catégorie:Jacques Bernoulli