Un nombre pandigital (ou nombre pannumérique) est un nombre comportant tous les chiffres (avec ou sans 0) dans une base donnée.

Si on exige que les chiffres n'apparaissent qu'une unique fois, il y en a alors, en base n, (n-1) x (n-1)! en comptant le 0 et (n-1)! sinonCe qui est le nombre de permutations sans répétition de (n-1) éléments. Voir la démonstration sur la Wikiversité., (factorielle de (n-1)) . Soit en base dix 9! = sans le 0 et 9 x 9! = avec le 0.

Les plus petits nombres pandigitaux sont 1.023.456.789, 1.023.456.798, 1.023.456.879, 1.023.456.897, 1.023.456.978

Le plus grand nombre pandigital est 9.876.543.210.

Propriétés arithmétiques Plusieurs propriétés arithmétiques des nombres pandigitaux ont été étudiées, notamment en ce qui concerne la divisibilité et la décomposition en facteurs premiers.

Il existe 244 423 cas dans lesquels un nombre pandigital est un multiple entier d’un autre nombre pandigital. Ces cas forment souvent des chaînes de multiplications comportant plusieurs étapes successives, avec des facteurs identiques ou différents. Parmi ceux-ci

6 760 nombres pandigitaux initient une chaîne d’au moins deux étapes 68 initient une chaîne de trois étapes. Il n'y a aucun chevauchement entre ces chaînes, ce qui signifie qu'un nombre pandigital peut avoir au maximum trois autres nombres pandigitaux comme diviseurs.

Le plus petit nombre premier qui n’est diviseur d’aucun nombre pandigital est 111 119. Toutefois, certains nombres premiers plus grands apparaissent comme diviseurs de nombres pandigitaux.

Le plus grand diviseur premier d’un nombre pandigital est 1 097 393 447 ; multiplié par 9, il donne le nombre pandigital 9 876 541 023.

Par contraste, il y a trois nombres pandigitaux ayant une décomposition en facteurs premiers composée uniquement de puissances de nombres premiers à un chiffre (2, 3, 5 et 7) :

3.891.240.675 = 33 * 52 * 78 6.195.732.480 = 213 * 32 * 5 * 75 9.487.215.360 = 28 * 32 * 5 * 77 Bien qu'il se trouve parmi les plus grands nombres pandigitaux, sa décomposition en facteurs premiers ne contient que les plus petits nombres premiers possibles (2, 3, 5 et 7). En comparaison, le plus petit nombre pandigital, 1.023.456.789 , admet la décomposition 34 * 2221 * 5689 contenant deux nombres premiers à quatre chiffres

Le plus grand nombre pandigital dont la décomposition en facteurs premiers ne fait intervenir que des nombres premiers inférieurs à 100 est

9 876 523 104 = 25 · 35 · 74 · 232 Son écart avec le plus grand nombre pandigital possible, 9 876 543 210, n'est que de 20 106. Seuls 55 autres nombres pandigitaux se situent entre ces deux valeurs Il s'agit donc du 57ᵉ plus grand nombre pandigital de 0 à 9.

Au total, il existe 87 carrés pandigitaux. Aucun cube pandigital ni aucun nombre pandigital possédant une racine entière d’ordre supérieur ne sont connus.

Pour tout entier naturel n, il existe un exposant maximal k tel que nk divise au moins un nombre pandigital, tandis que nk+1 ne divise aucun.

Par exemple, trois nombres pandigitaux sont divisibles par 221, mais aucun par 222 :

3.076.521.984 = 221 * 32 * 163 3.718.250.496 = 221 * 32 * 197 6.398.410.752 = 221 * 33 * 113

Pour 3, un seul nombre pandigital est divisible par 315, et aucun par 316 :

7 246 198 035 = 315 × 5 × 101

Pour 4 comme carré de 2, on a les trois mêmes nombres nommés divisibles par 221 et un autre qui est divisible par 410 = 220 :

9.805.234.176 = 220 * 32 * 1039

De manière analogue, un seul nombre pandigital est divisible par 59, tandis que 510 n’apparaît pas:

9.123.046.875 = 33 * 59 * 173

Ce comportement s’étend à d’autres entiers. Par exemple, 13 nombres pandigitaux sont divisibles par 68, alors que 69 n’apparaît pas comme diviseur d’un nombre pandigital.

Pour 7, on a le cas connu: 3.891.240.675 = 33 * 52 * 78

Ce nombre se compose uniquement des puissances de 3 et 5, en plus de 7.

Comme 4, 8 est une puissance de 2. Ça veut dire que les trois cas nommés représentent 87 comme 221.

9 comme carré de 3 est répresenté par neuf nombres pandigitaux divisibles par 97 = 314 inclus celui nommé divisible par 315.

Procédure de calcul Les valeurs ont été déterminées par calcul avec l'assistance de l´Intelligence artificielle. Selon le problème considéré, il n'est pas nécessaire d'examiner les 3 265 920 nombres pandigitaux. Au lieu de cela, les nombres satisfaisant les contraintes mathématiques imposées (par exemple une décomposition en facteurs premiers donnée ou de fortes puissances de certains nombres premiers) sont générés, puis leur caractère pandigital est vérifié.

Voir aussi Les nombres normaux et les nombres univers qui sont des cas particuliers de nombres pandigitaux.

Notes et références

Catégorie:Propriété décimale